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1、实验二离散线性系统参数估计的递推最小二乘法1.实验目的1)掌握利用递推最小二乘法估计离散线性系统参数的基本步骤和使用耍点。2)通过基木递推最小二乘(RLS)法，辅助变虽(IV)法和增广垠小二乘(ELS)法等三种常用方法，了解最小二乘类型的递推估计算法的一般编程思路。3)熟悉估计算法中各个参数选择対辨识效果的影响。2.基本原理1)辩识系统的基本情况和辩识工作的要求待辩识系统的运行情况如图1所示，设其在静态工作点(U。，¥0)附近作局部线性化所得动态模型为y(k)+a/y(k-/)+...+any(k-n)=
2、bju(k-1-d)+...+b„u(k-n-d),y(l-n)=y(o)=o(i)式中阶次n和时延d为结构性参数(一般需事先给出),%,h为待估非结构性参数。u(k)]£]〃o+M(k)UojV待辩识系统Y(k)=Y0+y(k)AU，(^=Uo+u(灯+C(k)YYQ=Y°+y伙丿+1］伙丿图1待辩识系统的基木运行情况一般来说，釆用伪随机信号M序列作为系统动态测试输入信号可以保证最小二乘法的存在，并町以取得较好的参数佔计结果。这是因为M序列的自相关函数很接近于周期性的函数,其功率谱密度中含有鮫宽范围的频
3、率成分，足以激发起系统在各种频率下的动态行为。本实验屮取电平幅值V=l、周期为15的M序列信号(其波形见图2)作为动态测试信号祇丿施加于对象输入端。木次实验的基木任务就是在含有噪声的输入、输出的实际观测值Uf(k)=U0+u(k)+©(k)和Yf(k)=Y0+y(k)+“伙丿的基础上，用最小二乘算法递推估计出系统参数｛a,,…,a.,bi,・・・bn｝。u(k)0123456789101112131415图2M序列信号的波形式中⑺⑻⑼(10)(11)0：1X0N=0;■■■，Vn=V)?2■■■x_$N_
4、叫=diag[w1,心，…，S]为了跟踪系统可能有的参数漂移性变化,按渐消记忆法取记忆因了为a=0・95〜l。此时=diag[aq,1]0N+](12)(13)2)基本关系式取考虑噪声示的对象模型yk)=-axyk)anyk—bbniik-n-d)+g(k)=/；&+§(灯几)=%)+%),U(k)=U(k)+＜伙)⑶0；=［一儿―，_y(—“)一…厂叫―)］⑷&=［一°1，…，一仇2I"］，…⑸g(k)=ai77(k-l)"*an77(k-n)勺：伙-l_d)^n^(k-n-d)⑹3)基本型最小
5、二乘(LS)算法简介(1)批最算法(Batchalgorithm)：取拟合残差e(k)=E(k)=N%-1)^n^(k-n)~^^(k--d)'nC(k-n-d)的加权平方和作为参数估计的性能指标,NN"Jn@)=Zw竝)=X叫2⑷-0：內2k=k=对参数估计量$作极小化可在叫＞0,R=1,2,•…,N条件下得到加权最小二乘估计“M.S=(仏WnOnY'林WnYn式中(2)递推算法(Recursivealgorithm):进一步可推得基本型最小二乘估计算法为无+1=©N+1+几血+1[汗+1-亦+
6、4(7n+I=[I/©+亦+』N0N+J=IP.~/N+Pn少N+少N+PNl初值设定为（⑸久=0,Po=c2I2n基木递推最小二乘（RLS）算法的框图见图3。图3基木递推最小二乘算法流程图山于纟⑷不是白噪声，R与u⑹和）厶）有关，以上棊木型授小二乘估计结果是有偏的。为了克服这种有偏性，在：⑷=0（即2仏）⑷）情况下可采用辅助变量法（TV）,在一般情况下可采用增广最小二乘法（ELS）o4）辅助变量（IV）估计算法简介辅助变屋（IV）估计批虽算法为=(ZNW.^NriZl/WNyN(⑹式中=[_Vv
7、(A-l)>，—儿（―）(17)酉◎采用的延迟多步的低通滤波值，目的是使辅助变量儿（I）,i=1,2,…昇2与方程误差g⑹尽量不相关。TV佔计的递推算法在形式上与RLS算法相似，H•因对初值设定敏感，一般宜先以RLS算法启动，待约50步后在切换到IV法。辅助变量（IV）法估计的递推算法框图见图4o5）增广最小二乘（ELS）估计算法简介增广最小二乘（ELS）估计是根据考虑噪声后的对象模型的如下变形：几）=一山几一1）any'（k-n）+切仏亠〃）+•••+%；—）+%1）+入勺-1）+…+血+〃£伙-”-<
8、/）=0｛歹+勺灯式中£⑹为白噪声，Vk~［一儿―1），(18)…，-『（《_"）IU（k--d）<■*^U（k-n-d）&=［一"…，一Q”IE，…，仇
9、入,…,;相应的批量算法为(19)(20)(21)0（=［0,西，…，兀］但瓦包含噪声£（_•）,d〉0,只能用递推方式估算如F：1怙=几）-0血I叽=〔一歹仏-1），…厂y仏-“）丨"（—〃），•••，％（—）IV仏一1），…，々H）］(22)(23)°N、ELS式中增
