《一 数学归纳法》教学案2

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1、《数学归纳法》教学案教学目标：1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；2.进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程,体会类比的数学思想.教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、创设情境，引出课题（1）不完全归纳法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学.于是得出结论：学校里全部都是男同学，

2、同学们说我的结论对吗？（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）（2）完全归纳法：一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证.）注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法.结论：不完全归纳法→结论不可靠；完全归纳法→结论可靠.问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法

3、）情境一：（播放多米诺骨牌视频）问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？二、讲授新课：探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？条件一：第一张骨牌倒下；条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下.探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明有些启发？得出结论：证明的两个步骤：（1）证明当时，命题成立；（2）假设当时命题成立，证明当时命题也成立.一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时，命题也成立.

4、只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从开始的所有正整数都成立.上述方法叫做数学归纳法.三、应用举例：例1用数学归纳法证明：证明：（1）当时，左边，右边，等式成立；（2）假设当（k≥1,kN*）时，，那么：，则当时也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何都成立.注：①对例1，首先说明在利用数学归纳法证题时，当时的证明必须利用的归纳假设，例2：用数学归纳法证明求证：能被6整除.[证明]：.当时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；.假设时命题正确，即能被6整除，∴当时，，∵两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，能被6整除

5、，即当时命题也正确，由知命题时都正确.即：当时，等式成立.根据（1）和（2），可知等式对任何都成立.注：上例可让学生独立完成，教师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤.四、巩固练习：P50练习题第1、2题五、课堂小结：问：今天我们学习了一种很重要的数学证明方法，通过本节课的学习，你有哪些收获？（学生总结，教师整理）1、数学来源于生活，生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们去发现.2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想：递推思想；3、数学归纳法一般步骤：验证时命题成立若时命题成立，证明当时命题也成立归

6、纳奠基归纳递推命题对从开始所有的正整数都成立4、应用数学归纳法要注意以下几点：（1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；（1）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法；（2）n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其它一些正整数；（3）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法.六、布置作业：P50练习题第1、2、3题.