高中数学《数学归纳法》学案2 新人教a版选修2-2

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1、数学归纳法【例题解析】例1完成下列各选择题（1）“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个（2）命题1：若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1)，则数列{an}是等比数列；命题2：若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0)，则数列{an}是等差数列；命题3：若数列{an}的前n项和Sn=na－n，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中

2、，真命题有（）A.0个B.1个C.2个D.3个（3）设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A.1B.2C.4D.6解析（1）四个命题中只有最后一个是真命题。命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知an+1=an×，an+1an，即an+1>an，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，c∈R，此时有，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=，则成为不必要也不充分条件。（2）上述三个命题均涉及到Sn与an的关系，它们是

3、an=正确判断数列{an}是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择A。由命题1得，a1=a+b，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(a－1)·an－1。若{an}是等比数列，则=a，即=a，所以只有当b=－1且a≠0时，此数列才是等比数列。由命题2得，a1=a+b+c，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差数列，则a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有当c=0时，数列{an}才是等差数列。由命题3得，a1=a－1，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=a－1，显然{an}是

4、一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a－1≠0；即a≠1时数列{an}才又是等比数列。（3）方程法：设{an}的首项为a1，公差为d。则解之得或又∵{an}是递增数列，∴d>0故a1=2。习惯上可设前三项分别为4－d,4,4+d由4(4－d)(4+d)=48解得。估值法：由2+4+6=12，48=2×4×6，{an}为递增数列可知a1=2。例2在数列{an}中,a1=b(b≠0)，前n项和Sn构成公比为q的等比数列。（1）求证：数列{an}不是等比数列；（2）设bn=a1S1+a2S2+…+anSn,

5、q

6、<1，求bn。解（1）证明：由已知S1=a1=b∵

7、{Sn}成等比数列，且公比为q。∴Sn=bqn－1，∴Sn－1=b·qn－2(n≥2)。当n≥2时，an=Sn－Sn－1=bqn－1－bqn－2=b·(q－1)·qn－2故当q≠1时，==q，而==q－1≠q，∴{an}不是等比数列。当q=1，n≥2时，an=0，所以{an}也不是等比数列。综上所述，{an}不是等比数列。（2）∵

8、q

9、<1，由（1）知n≥2，a2,a3,a4，…，an构成公比为q的等比数列，∴a2S2,a3S3,…,anSn是公比为q2的等比数列。∴bn=b2+a2S2·(1+q2+q4+…+q2n－4)∵S2=bq,a2=S2－S1=bq－b∴

10、a2S2=b2q(q－1)∴bn=b2+b2q(q－1)·∵

11、q

12、<1∴q2n－2=0∴bn=b2+b2q(q－1)·=注1+q2+q4+…+q2n－4的最后一项及这个式子的项数很容易求错，故解此类题时要细心检验。数列的极限与数列前n项和以及其他任何有限多个项无关，它取决于n→∞时，数列变化的趋势。例3已知数列{xn}的各项为不等于1的正数，其前n项和为Sn，点Pn的坐标为（xn,Sn），若所有这样的点Pn(n=1,2，…)都在斜率为k的同一直线(常数k≠0,1)上。（1）求证：数列{xn}是等比数列；（2）设yn=log(2a2－3a+1)满足ys=,yt=（s

13、,t∈N，且s≠t）共中a为常数，且1M时，xn>1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由。证明（1）∵点Pn、Pn+1都在斜率为k的直线上∴=k，即=k故(k－1)xn+1=kxn∵k≠0,xn+1≠1,xn≠1∴==常数∴{xn}是公比为的等比数列。（2）答案是肯定的，即存在自然数M，使当n>M时，xn>1恒成立。事实上，由10首项为x1，则xn=x1·qn－1(n∈N)∴=(n－1)

14、logq+