2015高考数学二轮专题复习题30：概率与统计解答题（含解析）

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1、高考专题训练(三十)　概率与统计(解答题)1．(2014·保定调研)近年来，我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A、B两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00－9：00,9：00－10：00两个时段内各发一趟列车由A城到B城(两车发生情况互不影响)，A城发车时间及其概率如下表所示：发生时间8：108：308：509：109：309：50概率若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站侯车的时间分别是周六8：00和周日8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)(1)设乙侯

2、车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)求甲、乙二人候车时间相等的概率．XkB1.com解　(1)X的所有可能取值为10、30、50、70、90(分钟)，其概率分布列如下X1030507090PX的数学期望E(X)＝10×＋30×＋50×＋70×＋90×＝(分钟)．(2)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为P甲10＝，P甲30＝，P甲50＝；P乙10＝，P乙30＝，P乙50＝×＝.所以所求概率P＝×＋×＋×＝＝，即甲、乙二人候车时间相等的概率为.2．(2014

3、·皖南八校联考)从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取2条，设ξ为2条面对角线所成的角(用弧度制表示)，如当2条面对角线垂直时，ξ＝.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．解　(1)当ξ＝0时，即所选的2条面对角线平行，则P(ξ＝0)＝＝.(2)ξ的可能取值为0，，.则P(ξ＝0)＝＝，P＝＝，P＝＝.ξ的分布列如下：ξ0PE(ξ)＝0×＋×＋×＝.3．(2014·广州调研)空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越

4、高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：PM2.5日均浓度0～3535～7575～115115～150150～250>250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市2014年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所示．(1)试估计甲城市在2014年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；(2)在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．解　(1)由茎叶图可知，甲城市在2

5、014年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5.所以可估计甲城市在2014年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10.(2)X的所有可能取值为0,1,2，因为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为：X012P数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.4．(2014·浙江名校联考)甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得

6、门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；(2)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X)．解　(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，所以Sn＝＝300.解得n＝－12(舍去)或n＝5，所以总决赛共比赛了5场．则前4场比赛中，一支球队共赢了3场，且第5场比赛中，领先的球队获胜，其概率为C4＝.(2)随机变量X可取的值为S4，S5

7、，S6，S7，即220,300,390,490.又P(X＝220)＝2×4＝，新课标第一网P(X＝300)＝C4＝，P(X＝390)＝C5＝，P(X＝490)＝C6＝，所以X的分布列为X220300390490P所以X的均值E(X)＝377.5(万元)．5．自驾游从A地到B地有甲、乙两条线路，甲线路是A－C－D－B，乙线路是A－E－F－G－H－B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．经调查发现，堵车概率x在上变化，

8、y在上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲路线的司机，得到表2数据．CD段EF段GH段堵车概率xy平均堵车时间(单位：小时)a21　堵车时间(单位：小时)频数[0,1]8(1,2]6(2,3]38(3,4]24(4,5]24(1)求CD段平均堵车时间a的值；(2)若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．解　(1)a＝×＋×＋×＋×＋