03-02 空间问题的四面体单元

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1、第三章轴对称、三维和高次单元§3-2空间问题的四面体单元图3-7空间四面体单元空间问题的有限单元法，和平面问题及轴对称问题的有限单元法的原理和分析过程完全相同。由于空间问题应采用三维坐标系，因此单元的自由度、刚度矩阵的元素个数，方程组内方程个数等要较平面问题和轴对称问题多，所以空间问题的规模一般比轴对称问题和平面问题大得多。它要求计算机的内存大，且计算时间长，费用高。这些问题都给三维有限单元法的具体运用带来许多困难。和平面问题一样，空间有限单元法采用单元也是多种多样的，其中最简单的是四节点四面体单元。采用四面体单元和线性位移模式来处理空间问题，可以看作

2、平面问题中三角形单元的推广。在采用四面体单元离散化后的空间结构物中，一系列不相互重叠的四面体之间仅在节点处以空间铰相互连接。四节点四面体单元仅在四个顶点处取为节点，其编号为i,j,m,p。每个单元的计算简图如图3-7所示。在位移法中，取节点位移为基本未知量，四节点四面体单元共有十二个自由度(位移分量)，其节点位移列阵为其子矩阵(i,j,m)相应的节点力列阵为14其子矩阵一、单元法位移函数结构中各点的位移是坐标x、y、z的函数。当单元足够小时，单元内各点的位移可用简单的线性多项式来近似描述，即(3-49)式中，，…，是十二个待定系数，它们可由单元的节点位移

3、和坐标确定。假定节点i,j,m,p的坐标分别为()、()、()、()，将它们代入(3-49)式的第一式可得各个节点在x方向的位移(3-50)解上述线性方程组，可得到，，，，再代入(3-50)式，得(3-51)其中V为四面体ijmp的体积，ai,bi，…，cp,dp为系数。(3-52)14(i,j,m,p)(3-53)为了使四面体的体积V不致为负值，单元四个节点的标号i,j,m,p必须按照一定的顺序：在右手坐标系中，要使得右手螺旋在按照i→j→m的转向转动时，向p的方向前进，象图3-1中单元那样。用同样方法，可以得出其余二个位移分量：(3-54)(3-55

4、)综合表达式(3-51)、(3-54)及(3-55)，可以将位移分量表示成为(3-56)其中I是三阶的单位矩阵，[N]为形函数矩阵，而各个形函数为(3-57)和平面问题相似，(3-49)式中的系数，，代表刚性移动，，；系数，，代表常量的正应变；其余6个系数反映了刚性转动，，和常量剪应变。这就是说，12个系数充分反映了单元的刚体位移和常量应变。同时，可以证明：由于位移模式是线性的，两个相邻单元的共同边界在变形过程中14，始终是相互贴合的，使得离散的模型变形中保持为连续体。这样，选用的位移函数满足收敛的充分必要条件，保证了有限单元法解答收敛于精确解。二、载荷

5、移置空间问题的单元载荷移置和平面问题一样，也是根据静力等效原则，将不作用在节点上的集中力、体力、面力移置成作用在节点上的等效节点载荷。其通用公式的形式和平面问题也是一样的，只不过多出一维空间分量。1.集中力设单元上某点(x,y,z)作用有集中力则仍然得到等效节点载荷(3-58)这里2.分布体力单元上作用有分布体力，则(3-59)其中dV是单元中的微分体积，对于直角坐标系上式为(3-60)3.分布面力单元的某一边界面S上作用有一分布面力则其中dA是边界面S上的微分面积。4.常见载荷的移置14图3-8重力移置上列公式是空间问题载荷移置的通用公式。对于四节点四

6、面体单元，由于其采用线性位移模式，采用直接计算虚功的方法求出节点载荷比较简单。下面介绍常见的二种载荷的移置。(1)重力四面体单元的自重为W，作用在质心C处(如图3-8)。为求得节点载荷Xi,Yi,Zi,可分别假想发生,或的虚位移。在或时，整个单元上各点的均没有z方向上的虚位移，重力W不做功，所以Xi=Yi=0。当时，jmp面上各点的虚位移为零，即，又因,所以有，　对于其余三个节点可得同样结论，于是有(i,j,m,p)(3-61)即，对于四节点四面体单元承受的重力载荷，只需要把共移置到每个节点上即可。(2)界面压力设四面体的一个边界面ijm上受有一线性分布

7、的压力P，共在三个节点上的强度分别为qi,0,0。很容易看出，该力向p点移置的等效节点力为零。由水力学知，总压力,作用于ijm面上的d点，d点到ij边和im边的距离分别为m到ij及j到im边的距离的1/4。于是可得(3-62)所得各节点载荷的方向和分布力的方向相同，要求各节点载荷分量还需乘上相应的方向余弦。14由上述面力移置结果，可求出任意线性分布面的等效节点载荷。如在ijm面受有线性分布面力在各点强度分别为qi，qj，qm，时，在i节点的等效载荷为(i，j，m)(3-63)三、应力应变矩阵空间问题几何方程为将四面体单元之位移表达式(3-52)、(3-5

8、4)和(3-55)代入几何方程，即得单元应变。用节点位移可表示为(3-64)式中