四面体与外接球问题

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1、四面体与外接球问题光山县第二高级中学陈宏天【问题一】四面体一定有外接球吗？如何证明？【证明】如右图所示，在四面体ABCD中，设E为棱AB的中点，点F、G分别为△ABC、△ABD的外心，则点F到△ABC各顶点距离相等，点G到△ABD各顶点距离相等连接EF、EG，则EF⊥AB，EG⊥AB，所以AB⊥平面EFG，所以平面ABC⊥平面EFG，平面ABD⊥平面EFG，过点F作平面ABC的垂线m，则直线m上任一点到△ABC各顶点距离相等，同理，过点G作平面ABD的垂线n，则直线n上任一点到△ABD各顶点距离相等，不难得到直线m、n均在平面EFG内，所以

2、直线m、n相交于一点，设为点O，所以点O到A、B、C、D四点的距离相等，即点O是四面体ABCD外接球的球心，故四面体一定有外接球且只有一个。【问题二】如何求四面体外接球的表面积或体积？【答案】求四面体外接球的表面积或体积，就是求四面体外接球的半径，即求球心O到四面体顶点的距离。容易思到的解题思路是先确定球心O的位置，再通过解三角形得到问题的解决。但此种解决方案运算量大。另一种解决思路是构造与四面体拥有共同外接球的长方体，通过求长方体的外接球半径，得到问题的解决，但此种方法需要四面体具有特殊性。【问题三】什么样的四面体能与长方体拥有共同的外接

3、球？【答案】只要四面体四顶点与长方体某四个顶点重合，则四面体就与长方体拥有共同的外接球，我们不妨称这个四面体内接于长方体，称长方体的内接四面体。新的问题又出来了，四面体具有何特征，才能内接于长方体呢？下面我们用“倒逼”的方法来回答这个问题。【问题四】以长方体8个顶点中的4个顶点作四面体，求长方体内接四面体的个数.【答案】从8个顶点中任取4个的组合数为个其中，共面的4点的个数有①长方体的6个面；②长方体的6个对角面.故长方体的内接四面体有70–12=58（个）【说明】这58个四面体与长方体同外心。若长方体长、宽、高分别为a、b、c，则长方体的

4、外接球的直径（2R）等于其体对角线长，即.【问题五】长方体内接四面体如何分类？【答案】长方体内接四面体可分四类：①四个面都是锐角三角形且对棱相等（如图一）。这类四面体共2个，对棱的长度分别为长方体面对角线的。图一图二图三图四②四个面都是直角三角形（如图二）。这类四面体共24个，它们有一条最长棱，这条最长的棱就是长方体的体对角线，③有三个面都是直角三角形，有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图三）。这类四面体共8个，两两垂直的三条棱就是长方体的长、宽、高④有三个面都是直角三角形，没有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图四）。这类四面体

5、共16个，它们有一条最长棱，这个最的棱就是长方体的体对角线。到此我已完整地回答了【问题三】中的问题。【练习一】三棱锥O-ABC中，侧棱OA，OB，OC两两垂，三角形OAB，三角形OAC，三角形OBC面积分别为，，，求三棱锥的外接球表面积（答案：10）【练习二】四面体三对对棱分别相等，依次为，，，则这个四面体外接球的体积为？（答案：）