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《几类特殊四面体的外接球问题_吴平生》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2006年第11期数学通讯15几类特殊四面体的外接球问题吴平生(广州市第十六中学,广东510080)中图分类号:O124.2文献标识码:A文章编号:0488-7395(2006)11-0015-03我们知道,每个四面体都有外接球,球心就是CD-A1B1C1D1有相同的外接球.设外接球半径各条棱的中垂面的交点,这个点到各个顶点的距3为R,则2R=3,从而R=.所以此球的表面离都相等.给出一个四面体求它的外接球半径,是2一类常见的问题.下面以近几年的高考题为例来232积为S球=4πR=4π()=3π,故选(A).说明几类特殊四面体的外接球半径的求法.21等腰四面体的外接球评
2、注本题若直接运用正四面体的外接球半三对对棱分别相等的四面体叫做等腰四面6632径公式R=a=×2=,从而S球=4πR442体,从长方体的一个顶点出发的三条面对角线,以=3π,也能迅速得出答案(A).及另三个端点连成的三条面对角线可以构成一个2直角四面体的外接球等腰四面体.同一顶点上的三条棱两两垂直的四面体叫做设等腰四面体的三条棱长分别是a,b,c,通直角四面体.从长方体的一个顶点出发的三条棱,过构造长方体,可以求得它的外接球半径为R=以及另三个端点的连线可以构成一个直角的四面2222a+b+c.特别地,当a=b=c时,棱长为体.4设直角四面体的三条直角边长分别是a,b,
3、6a的正四面体的外接球半径为R=a.4c,通过构造长方体,可以求得它的外接球半径为例1(2003年新课程高考题)一个四面体1222R=a+b+c.2的所有棱长都为2.四个顶点在同一球面上,则此例2(2005年辽宁高球的表面积为()考题改编)如图2,已知三(A)3π.(B)4π.棱锥P-ABC中,E,F分别(C)33π.(D)6π.是AC,AB的中点,分析由于四面体的■ABC,■PEF都是正三所有棱长都相等,所以它角形.PF⊥AB.若点P,图2例2图也是等腰四面体,因此可A,B,C在一个表面积为12π的球面上,求以构造长方体来求出它的■ABC的边长.外接球半径.构造棱长为
4、111解∵PF=EF=BC=AB,的正方体ABCD-22A1B1C1D1,如图1,则图1例1图∴PA⊥PB.同理PA⊥PC.B1-ACD1是棱长为2的∵PF⊥AB,F是AB的中点,∴PA=PB,同理PA=PC.正四面体,且正四面体B1-ACD1与正方体AB-收稿日期:2006-02-14作者简介:吴平生(1974—),男,广东南雄人,广州市第十六中学一级教师,学士.16数学通讯2006年第11期2设AB=a,则PA=PB=PC=a.2222∵PB+PC=BC,∴PB⊥PC.因为PA,PB,PC两两垂直,所以以PA,PB,PC为棱的正方体与三棱锥P-ABC有相同的外接2球
5、,设外接球半径为R,则2R=3PA.∵4πR=12π,∴R=3,∴PA=2.图4例3题图图5例3解答图∵■PAB是等腰直角三角形,∴AB=22.∵AB=AC,∠A1AB=∠A1AC,∴■ABC的边长为22.∴■A1AB≌■A1AC,评注求一个特殊四面体的外接球半径,关∴A1B=A1C,∴A1D⊥BC,键是要分析清楚三棱锥的结构特征.∴BC⊥平面A1AD,∴BC⊥AA1.3正三棱锥的外接球∵DE∥AA1,∴BC⊥DE,底面是正三角形,且顶点在底面的射影是底∴∠ADE是二面角A-BC-B1的平面角.从面的中心的三棱锥叫做正三棱锥.而∠ADE=120°,∠A1AD=60°.设
6、正三棱锥的底面边长a,高为h,则它的外22作A1H⊥底面ABC于H.由于A1A=A1Ba+3h接球半径为R=.6h=A1C=a,所以H为■ABC的外心.更一般地,如果一个∵AB=AC,∴H在AD上.在Rt■A1AH三棱锥的顶点在底面射a3中,AH=,A1H=a.影是底面三角形的外心,22并设这个三棱锥的底面设外接球球心O,半径为R,则O在A1H三角形的外接圆半径为上.连结AO,在Rt■OAH中,由OA2=AH2+r,高为h,那么它的外接22a232322OH,得R=()+(a-R),解得R=r+h223球半径为R=.证2h图3三棱图·a.故外接的体积为明如下:如图3,在
7、三锥43433433A-BCD中,AO1⊥底面BCD于O1,且O1是V球=3πR=3π(3a)=27πa.■BCD的外心.设O为三棱锥A-BCD的外接球评注本题通过确定球心的位置与构造球心球心.则O在AO1上.与侧棱所在截面的直角三角形得出外接球半径与设O1B=r,AO1=h,OA=OB=R,在Rt三棱锥侧棱之间的关系.■OBO222224矩形折成的四面体的外接球1中,由OB=BO1+OO1,得R=r22例4(2005年江西高考题)矩形ABCD中,2r+h+(h-R),解得R=.2hAB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直例3(
