北师大版九年级数学上册 12.图形的相似及相似图形的性质--知识讲解

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1、图形的相似及相似图形的性质--知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、了解比例线段的概念及有关性质，明确相似比的含义并能灵活运用比例的性质进行运算求值；2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似以及相似图形的性质.【要点梳理】要点一、相似图形1.定义：具有相同形状的图形称为相似图形.要点诠释：　(1)相似图形对应线段的比叫相似比；(2)相似图形的周长比等于相似比；（3）相似图形的面积比等于相似比的平方.要点二、比例线段1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条

2、线段的比.2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：如果那么ad=bc.要点诠释：（1）a，b，c，d叫做这个比例的项，a，b叫做比例外项，b，c叫做比例内项.（2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a,c的比例中项）4．比例的性质：（1）合分比性质：如果那么；（2）等比性质：如果（b+d+……+n≠0），那么【典型例题】类型一、比例线段1.下列四组线段中，成比例线段的有()A．3cm、4cm、5c

3、m、6cm　　　B．4cm、8cm、3cm、5cm　　C．5cm、15cm、2cm、6cm　　　　D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：　　(1)a=4，b=6，c=5，d=10；　　(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1)∵　，，　　　　∴　，　　　　　　∴　线段a、b、c、d不是成比例线段．　　　　(2)∵　，，　　　　　　∴　，　　　　　　∴　线段a、b、c、d是成比例线段．2.（2

4、014秋•滨海县期末）已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案】解：（1）∵a：b：c=3：2：6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；（2）∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，∴x2=4×6，∴x=2或x=﹣2（不合题意，舍去），即x的值为．【总结升华】本题考查了比例线段及其相关计算，注意利用代数的方法解决较为简便．3.（2015

5、秋•泗阳县校级月考）已知==，求：的值.【思路点拨】根据比例的性质，设比值为k，用含k代数式表示x,y,z，然后代入后面的式子化简求值．【答案】解：设∴x=2k，y=3k，z=4k.【总结升华】本题考查了比例的性质，此类型题一般采用设未知数的方法最简便.举一反三：【变式】已知xyz≠0且=k，求k的值．【答案】解:∵xyz≠0∴x≠0，y≠0，z≠0，①当x+y+z≠0时，∵=k，∴k=2;②当x+y+z=0时，x+y=-z,z+x=-y,y+z=-x,∴k=-1.综上所述，k=2或-1.类型二、相似图形4.指出下列各组图中，哪

6、组肯定是相似形__________：　　(1)两个腰长不等的等腰三角形　　(2)两个半径不等的圆　　(3)两个面积不等的矩形　　(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2)(4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两

7、个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型三、相似多边形5.（2014•南通）如图，点

8、E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边