函数的单调性与函数解析式的求法

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1、知识点五：函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(如A级T6)．例6（1）已知f＝

2、x2＋，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．变式．(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式；(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．例7已知2f（1/x）+f（x）=x(x≠0)。求f（x）变式已知f（1/x）+af（x）=ax(x≠0，a≠±1)。求f（x）1.3.1函数单调性与最大（小）值知识点一增函数、减函数、单调性、单调区间的概念：　　一般地，设函数f(x)的定义域为

3、A，区间　如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间上是减函数.函数的性质定义图像描述函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I当x1f(x2)

4、，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数自左向右看图象是下降的如果函数f(x)在区间D上是增函数或者减函数，那么函数f(x)在这一区间上具有严格的单调性，区间D叫做函数的单调区间。知识点二：常见函数的单调性（1）一次函数的单调性：对函数当时，函数单调增加；当时，函数单调减小.（2）反比例函数单调性：对函数当时，函数单调减小；当时，函数单调增加.（3）二次函数的单调性：对函数，当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加；当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小知识点三：单调性的证明　　1）定义法(1)取值.设是定义域内

5、一个区间上的任意两个量，且；　　(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；　　(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；　　(4)得出结论.2）.图象法：借助图象直观判断．3）.复合函数单调性判断方法：设若内外两函数的单调性相同，则在x的区间D内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则在x的区间D内单调递减．（同增异减）知识点四：最大（小）值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：条件(1)对于任意的的x∈I，都有f(x)≤M

6、；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥m；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝m.结论M为最大值m为最小值.【典型例题】考点1.根据图像判定函数单调性【例1】右图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出y＝f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y＝f(x)是增函数还是减函数．【变式1】如图是定义在闭区间[-5，6]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出函数y＝f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y＝f(x)是增函数还是减函数.考点二.判断函

7、数的单调性【例2】写出下列函数的单调区间（1）（2）；（3）；（4）【例3】下列函数中，在区间上递增的是（）A．B．C．D．【变式1】函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是（　）A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．先递增再递减【变式2】讨论函数与f(x)＝x＋(a>0)的单调性考点3用定义法证明函数的单调性【例4】（1）证明函数在上是减函数；（2）求证：函数在区间上是单调增函数。【变式1】证明函数y=2x+5的单调性【变式2】判断函数f（x）＝在（1,2）上的增减情况．考点四利用单调性求最值【例5】已知函数（

8、），求函数的最大值和最小值.【变式1】求函数f(x)＝在区间[1,2]内的最大值和最小值.考点四单调性的运用【例6】函数在上是减函数,则求m的取值范围．【例7】函数f（x）是R上的减函数,求f（a2－a＋1）与f（）的大小关系．【变式1】已知函数上是单调函数，的取值范围是．【变式2】已知y=f(x)是定