函数的单调性及函数解析式的求法

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1、知识点五:函数解析式的求法(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式(如例(1));(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法(如例(3));(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围(如例(2));(4)方程思想:已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)(如A级T6).例6(1)已知f=x2+,求f(x)的解析式;(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0

2、,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).变式.(1)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式;(2)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等实根,且f′(x)=2x+2,求f(x)的解析式.例7已知2f(1/x)+f(x)=x(x≠0)。求f(x)变式已知f(1/x)+af(x)=ax(x≠0,a≠±1)。求f(x)1.3.1函数单调性与最大(小)值知识点一增函数、减函数、单调性、单调区间的概念:  一般地,设函数f(x)的定义域为A,区间 如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2,当x1

3、任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在区间上是减函数.函数的性质定义图像描述函数的单调性一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数自左向右看图象是下降的如果函数f(x)在区间D上是增函数或者减函数,那么函数f(x)在这一区间上具有严格的单调性,区间D叫做函数的单调区间。知识点二:常见函数的单调性(1)一次

4、函数的单调性:对函数当时,函数单调增加;当时,函数单调减小.(2)反比例函数单调性:对函数当时,函数单调减小;当时,函数单调增加.(3)二次函数的单调性:对函数,当时函数在对称轴的左侧单调减小,右侧单调增加;当时函数在对称轴的左侧单调增加,右侧单调减小知识点三:单调性的证明  1)定义法(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量,且;  (2)变形.作差变形(变形方法:因式分解、配方、有理化等)或作商变形;  (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系;  (4)得出结论.2).图象法:借助图象直观判断.3).复合函数单调性判断方法:设若内外两函数的单调性相同,则在x的区间D内单调递增,若

5、内外两函数的单调性相反时,则在x的区间D内单调递减.(同增异减)知识点四:最大(小)值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足:条件(1)对于任意的的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥m;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=m.结论M为最大值m为最小值.【典型例题】考点1.根据图像判定函数单调性【例1】右图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数.【变式1】如

6、图是定义在闭区间[-5,6]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出函数y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数.考点二.判断函数的单调性【例2】写出下列函数的单调区间(1)(2);(3);(4)【例3】下列函数中,在区间上递增的是()A.B.C.D.【变式1】函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上是( )A.递减函数B.递增函数C.先递减再递增D.先递增再递减【变式2】讨论函数与f(x)=x+(a>0)的单调性考点3用定义法证明函数的单调性【例4】(1)证明函数在上是减函数;(2)求证:函数在区间上是单调增函数。【变式1】证明函数y=2x+5的单调

7、性【变式2】判断函数f(x)=在(1,2)上的增减情况.考点四利用单调性求最值【例5】已知函数(),求函数的最大值和最小值.【变式1】求函数f(x)=在区间[1,2]内的最大值和最小值.考点四单调性的运用【例6】函数在上是减函数,则求m的取值范围.【例7】函数f(x)是R上的减函数,求f(a2-a+1)与f()的大小关系.【变式1】已知函数上是单调函数,的取值范围是.【变式2】已知y=f(x)是定

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