人教A版高数学导学案教案 第3章 空间向量与立体几何§3.1.3　空间向量的数量积运算

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1、§3．1.3　空间向量的数量积运算知识点一求两向量的数量积如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为a，求·..解由题意知

2、

3、=

4、

5、=

6、

7、=a，且〈，〉=120°，〈，〉=120°，·=·（）=··,=a2cos120°a2cos120°＝0【反思感悟】在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如〈，〉＝60°时，〈，〉＝120°.已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为AB1的中点，F为A1D1的中点，试计算：（1）·；（2）·；（3）·.解如图所示，设＝a，＝b，＝c，则

8、a

9、＝

10、c

11、＝2，

12、b

13、

14、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.（1）·=b·［（ca）+b］=

15、b

16、2=42=16..(2)·=（ca+b）·（a+c）=

17、c

18、2

19、a

20、2=2222=0.（3）·=[(c－a)＋b]·(b＋a)＝(－a＋b＋c)·(b＋a)＝－

21、a

22、2＋

23、b

24、2＝2.知识点二利用数量积求角6如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．解.因,所以·=··=

25、

26、

27、

28、cos〈，〉

29、

30、

31、

32、cos〈,〉=8×4×cos135°8×6×cos120°所以cos〈,〉=.＝＝.即OA与

33、BC所成角的余弦值为.【反思感悟】　在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补．在二面角α－l－β中，A，B∈α，C，D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点．(1)求二面角α－l－β的大小；(2)求证：MN⊥AB；(3)求异面直线PA与MN所成角的大小．(1)解∵PA⊥α，l⊂α∴PA⊥l，又∵AD⊥l，PA∩AD=A，∴l⊥平面PAD，∴l⊥PD，故∠ADP为二面角α-l-β的平面角，由PA=AD得∠ADP=45°.∴二面角α-l-β的大小为45°

34、.（2）证明＝＋，＝＝＋＝(－)＋，＝－＝＋，∴＝＋＋，＝－=＋＋－=＋，∵AD⊥AB，AP⊥AB∴·＝0，·＝0，6∴MN⊥AB.(3)解设AP＝a，由(2)得＝＋·＝·＋·＝a2，

35、

36、＝

37、

38、＝a，

39、

40、＝＝＝a，∴cos<,>＝＝，即异面直线PA与MN所成角为45°.知识点三利用数量积证明垂直关系如图所示，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.证明在α内作任一直线g，分别在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因为m与n相交，所以向量m，n不平行．由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对(x，y)，使g＝xm＋yn.将上式两边与向量l作数量

41、积，得l·g＝xl·m＋yl·n.因为l·m＝0，l·n＝0，所以l·g＝0,所以l⊥g.即l⊥g.这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.【反思感悟】　证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明两向量数量积为零．已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.证明∵OA⊥BC，OB⊥AC，∴·=0，·=0.∵·＝(+)·(+)=·＋·＋·＋·=·＋·(＋)=·＋·＝·(＋)＝·＝0，∴⊥，∴OC⊥AB.课堂小结：空间两个向量a，b的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b＝

42、a

43、

44、b

45、cos〈a，b〉，这里〈

46、a，b〉表示空间两向量所成的角(0≤〈a，b〉≤π)．6空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a⊥b⇔a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝

47、a

48、·

49、b

50、cos〈a，b〉，cosθ＝，求两直线的夹角．(3)利用

51、a

52、2＝a·a，求解有关线段的长度问题．一、选择题1．若a，b均为非零向量，则a·b＝

53、a

54、

55、b

56、是a与b共线的()A．充分不必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件答案A解析a·b＝

57、a

58、

59、b

60、cos〈a，b〉＝

61、a

62、

63、b

64、⇔co

65、s〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

66、a＋3b

67、等于()A.B.C.D．4答案C解析

68、a＋3b

69、2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6·cos60°＋9＝13.3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c答案B解析A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0，b＝0