§3.1.3 空间向量的数量积运算-教学设计

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1、§3.1.3空间向量的数量积运算授课人：万方乐一．教学目标1.知识与技能(幻灯片2)(1)通过类比平面向量数量积的运算，掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律；(2)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(3)通过向量的运算，研究空间中点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题。2.过程与方法引导学生注重知识间的联系，不断地与平面向量和立体几何知识进行类比，做到温故而知新，并且经历向量及其运算由平面到空间的推广过程，使学生的思维过程螺旋上升。3.

2、情感态度与价值观通过本节课的学习，使学生对于以往的知识有一个全新的认识，培养学生积极探索数学的本质，提高学生的数学素养。二．教学重点空间向量数量积的概念以及实际应用。三．教学难点建立空间向量与空间图形的内在联系；四．教学过程教学环节教学过程设计意图新课引入同学们,你们还记得平面向量数量积的定义吗？你能类比平面向量所成夹角说一说什么是空间中两条向量夹角及范围吗?注重了与旧知识的联系，使学生对知识的理解更为透彻。学生容易对向量夹角和两直线夹角产生混淆，这里要对范围进行明确。（幻灯片4）讲授新课零向量与任何向量的数量积为0。性

3、质1：这个性质是证明两向量垂直的依据；性质2：这个性质是求向量模的依据。思考：类比平面向量，你能说出空间向量数量积的几何意义吗？（幻灯片9）空间向量数量积和平面向量数量积相似，在教学中可采用类比的方法，并且还要向学生再次强调数量积的结果为常数，而不是向量。空间向量数量积的几何意义同平面向量数量积是一样的。只要让同学们理解空间中任意两个向量都是共面向量，此时就可以把空间向量的数量积转化为平面向量上来了。（幻灯片5--8）（幻灯片10）讲授新课空间向量数量积的运算律：新教材并不要求课上对空间向量数量积的运算律加以证明。但是要

4、让同学们理解其作用，并思考向量的数量积满足结合律吗？为什么？（幻灯片11）讲授新课练习：几个小巧玲珑的练习让学生对本节课的理论知识加以巩固，既让他们积极地思考，又增强了运算能力。（幻灯片12）讲授新课aPoAαv图1例1利用向量知识证明三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理是整个高中阶段非常典型的证明垂直问题的实例,对这个例题的讲授,我将采用启发引导式教学法,先对本题的已知和求证加以明确，通过已有的知识基础，同学们已经很明确解题思路，但是如何将这个几何知识代数

5、化呢?为了解决这个难点,并发挥学生的主体作用,我先让同学们运用纯几何法写出解题过程，再来探究如何利用向量这个有效的工具呢？因此，首先让学生明确，若给出空间中一点以及直线的方向，那么直线就唯一确定了，同学们很容易想到先设出直线a的方向向量以及直线PA、AO、PO的方向向量，，类似地，将转化为，再通过向量加法和数量积的运算律完成本题的证明过程。（幻灯片13）讲授新课知识扩展：如果在三垂线定理中，已知条件改为：直线a//平面α，并且直线a垂直于斜线Po在平面α内的射影Ao，直线a是否还垂直于斜线Po？为了更好的突出向量与立体几

6、何之间的联系，我在这里设置了一个变式，将同学们的思维由平面提升到空间；在前几个习题的对比过程中并没有突显出向量的优势，反而让同学们感觉向量的做法更麻烦，因此我让同学们带着疑问进入例题2的教学。（幻灯片14）讲授新课例2线面垂直的判定定理的证明m,n是平面α内两条相交直线,如果l⊥m,l⊥n,求证:l⊥α在立体几何部分,我们没有对判定定理给出证明,只是通过实验等手法给学生一个直观的感觉,使学生做到知道有这个定理,并知道怎么用就行了,而现在我们是系统地对立体几何知识进行回顾和升华。例题3的解题思路与例题2大同小异，主要让学生

7、体会用向量解决立体几何中一些简单问题的基本思考方法，并引导学生分析题意，寻求解题思路，因此，我将以提问的形式引发同学们思考：（1）如何把已知的几何条件转化为向量表示？（2）考虑未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示。（3）如何对已经表示出来的向量进行运算，获得需要的结论？（幻灯片15）知识拓展练习：课本练习P92第2题1）巩固新知，熟练公式；2）为学习能力不同的学生提供广阔的空间；3）体现学生的主体地位，发展学生的个性；4）培养学生分工协作的能力，善于分析，乐于探索的钻研精神.（幻灯片16）小结本节课通过和平面向量数量

8、积类比，学习了空间向量的数量积的概念及其应用，使同学们初步感受到空间向量在立体几何中的作用，建立空间向量和立体几何之间的联系，体会“向量是躯体，运算是灵魂”。（幻灯片17）作业教材P98习题3.1第4题、第5题（幻灯片18）五．板书设计§3.1.3空间向量的数量积运算一、空间向量数量积的概念二、例题1.空间中两向量的