2015-2016高中数学 1.1.3导数的几何意义学案 新人教A版选修2-2

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1、1．1.3　导数的几何意义1．在了解导数概念的实际背景下，理解导数的几何意义．2．会求切线的斜率及切线方程．1．导数的几何意义割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率的无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f(x0)＝想一想：(1)曲线在某点处的切线与曲线的公共点是否只有一个？(2)曲线y＝－2x2＋1在点(

2、0，1)处的切线的斜率是________．(1)解析：不一定．曲线在某点处的切线只是一个局部概念，是该点处割线的极限情况，在其他地方可能还有公共点．2．函数的导数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝想一想：函数f(x)＝x2的导函数是___________________．解析：f′(x)＝＝＝(2x＋Δx)＝2x，即函数f(x)＝x2的导函数是f′(x)＝2x.　　　　　　　　　1．下列说法正确的是(C)A．若f′(x0)不存在，

3、则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线2．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线的斜率为(B)A．2B．1C.D．－1解析：因为点(1，－1)在曲线y＝－上，所以曲线y＝－在点(1，－1)处的切线的斜率就等于y＝－在x＝1处的导数．所以k＝f′(1)＝＝＝＝1.故选B.3．曲线y＝x3在点P处的切线斜率

4、为3，则点P的坐标为(B)A．(－2，－8)B．(1，1)，(－1，－1)C．(2，8)D.解析：∵y＝x3，∴y′＝＝＝((Δx)2＋3x·Δx＋3x2)＝3x2.令3x2＝3，得x＝±1，∴点P的坐标为(1，1)，(－1，－1)．故选B.1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(D)A．4B．－4C．－2D．2解析：由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.2．已知曲线f(x)＝－和点M(1，－2)，则曲线在点M处的切线方程为(C)A．y＝－2x＋4B．y＝－2x－4C．y＝2x－4　　D．y＝2x＋4解析：

5、＝＝，所以当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.所以直线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.故选C.3．函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝(B)A.B.C.D．1解析：∵y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，∴x0＝.∵切点在直线y＝x上，∴y0＝.代入y＝ax2＋1得＝＋1，∴a＝，故选B.4．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________．解析：由题意知，＝(aΔx＋2a)＝2a＝2，所以a＝1，又3＝a×12＋b，所以b＝2，即＝.答案：5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA

6、)与f′(xB)的大小关系是(B)A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)

7、则f(5)＋f′(5)＝________．解析：∵点P(5，y)在直线y＝－x＋8上，∴f(5)＝3.又由导数的几何意义可知f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.答案：28．若f′(x0)＝2，则＝_____________.答案：－19．求曲线y＝f(x)＝x2＋3的切线，使之与直线y＝6x－5平行．解析：设切点为(x0，y0)．因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2－x＝2Δx·x0＋(Δx)2，所以＝＝2x0＋Δx.所以＝2x0，即f′(x0)＝2x0，令2x0＝6，得x0＝3，即在点(3，12)处的切线平行于y＝6x－5

8、，此时切线方程为y－12