高中数学《1.1.3导数的几何意义》教案 新人教a版选修2-2

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1、§1.1.3导数的几何意义教学目标:1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题;教学重点:曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义;教学难点:导数的几何意义.教学过程:一.创设情景(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢?二.新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率:如图3.1-2,当沿着曲线

2、趋近于点时,割线的变化趋势是什么?图3.1-2我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题:⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系?⑵切线PT的斜率为多少?容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时,无限趋近于切线PT的斜率,即说明:(1)设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)

3、与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.(二)导数的几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率,即说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点处的变化率,得到曲线在点的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.(二)导函数:由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当x变化时

4、,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作:或,即:注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.(三)函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数。2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一。三.典例分析例1:(1)求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.(2)求函数y=3x2在点处的导数.

5、解:(1),所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为即(2)因为所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为即(2)求函数f(x)=在附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.解:例2.(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在、、附近的变化情况.解:我们用曲线在、、处的切线,刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当时,曲线在处的切线平行于轴,所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单

6、调递减.(3)当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减.从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.例3.(课本例3)如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,从图像上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时

7、刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作处的切线,并在切线上去两点,如,,则它的斜率为:所以下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率0.40-0.7-1.4四.课堂练习1.求曲线y=f(x)=x3在点处的切线;2.求曲线在点处的切线.五.回顾总结1.曲线的切线及切线的斜率;2.导数的几何意义六.布置作业

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