2012年数学文科高考题分类专题四 平面向量、数系的扩充

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1、专题四　平面向量、数系的扩充与复数的引入(2012·高考广东卷)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝(　　)A.　　　　　　　　　　B.C．1D.(2012·高考陕西卷)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2012·高考陕西卷)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1，2cosθ)垂直，则cos2θ等于(　　)A.B.C．0D．－1(2012·高考江西卷)

2、若复数＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　)A．0B．－1C．1D．－2(2012·高考大纲全国卷)△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，

3、a

4、＝1，

5、b

6、＝2，则＝(　　)A.a－bB.a－bC.a－bD.a－b(2012·高考北京卷)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．(2012·高考山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2

7、，1)时，的坐标为________．(2012·高考江苏卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．(2012·高考安徽卷)设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则

8、a

9、＝________．(2012·高考上海卷)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是__________．专题四　平面向量、数系的扩充与复数的引入D　a∘b＝＝＝，同理有b∘a＝，a∘b和b∘a都在集合中，即和是整数，

10、取θ＝，则和是整数，则＝＝1，则a∘b＝.B　ab＝0，即a＝0，或b＝0或a＝0且b＝0，a＋＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且b≠0.由小范围是大范围成立的充分不必要条件．∴“ab＝0”是“a＋”为纯虚数的必要不充分条件．C　a＝(1，cosθ)，b＝(－1，2cosθ)，∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0.∴－1＋1＋cos2θ＝0，即cos2θ＝0.A　z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2＋2i2＝0.D　∵＝＋，＝＋，＝－＝＋，∴＝a－b，故选D.1　1　·＝(＋)·＝2＋·＝2＋0＝1，·＝

11、

12、·

13、

14、cos〈，〉＝cos〈，〉≤1.当且仅当c

15、os〈，〉＝1，即〈，〉＝时取“＝”号．(2－sin2，1－cos2)　如图：x＝2－cos(2－)＝2－sin2，y＝1＋sin(2－)＝1－cos2，故P(2－sin2，1－cos2)，∴＝(2－sin2，1－cos2)．　由·＝·(＋)＝得

16、

17、＝1，再由·＝(＋)·(＋)易求．　a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)，a＋c＝(3，3m)，由(a＋c)⊥b，知(a＋c)·b＝(3，3m)·(m＋1，1)＝0，∴3(m＋1)＋3m＝0，∴m＝－，∴a＝(1，－1)，

18、a

19、＝.[1，4]　矩形如图所示设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ，－λ，∴＝(λ－

20、1)，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋λ·＋·(λ－1)＋0＝λ

21、

22、

23、

24、＋(λ－1)×(－1)

25、

26、

27、

28、＝λ×12－(λ－1)×22＝4－3λ.又0≤λ≤1，∴1≤4－3λ≤4，即·的取值范围为[1，4]．