2012年新课标版高考题库考点31 直接证明与间接证明

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1、温馨提示：此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点31直接证明与间接证明1.（2012·北京高考理科·Ｔ20）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记S(m，n)为所有这样的数表构成的集合.对于A∈S(m,n),记Ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn

2、(A)∣中的最小值.（1）对如下数表A，求K（A）的值；11-0.80.1-0.3-1（2）设数表A∈S（2,3）形如11cab-1求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值.【解题指南】（1）直接按照定义计算即可；（2）直接证明比较困难时，可以考虑用反证法；（3）首先构造一个数表，求出最大值，再证明它就是所求的最大值.【解析】（1）,-5-0.7.（2）先用反证法证明K(A)≤1：若K(A)>1,则，同理可知b>0,∴a+b>0,由题目所有数和为0，即a+b+c=-1,

3、∴c=-1-a-b<-1,与题目条件矛盾，∴K(A)≤1,易知当a=b=0时，K(A)=1存在，∴K(A)的最大值为1.（3）K(A)的最大值为,首先构造满足K(A)=的;,.经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，，下面证明是最大值.若不然，则存在一个数表A，使得.由K(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x,2]中.由于x>1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值不小于x-1.

4、设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g

5、-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1,2），cj（A）为第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为

6、r1(A)

7、,

8、r2(A)

9、,

10、c1(A)

11、，

12、c2(A)

13、，

14、c3(A)

15、中的最小值.（I）对如下数表A，求k（A）的值；11-0.80.1-0.3-1（II）设数表A形如111-2ddd-1其中-1≤d≤0.求k（A）的最大值；（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值.-5-【解题指南】（1）直接按照定义计算即可；（2）按照定义把k(A)转化为关于d

16、的函数，再求函数的最大值；（3）首先构造一个数表，求出最大值，再证明它就是所求的最大值.【解析】（I），0.7.（II）k(A)=min{

17、3-2d

18、,

19、2d-1

20、,

21、1+d

22、,

23、1+d

24、,

25、2d

26、}.-1≤d≤0,k(A)=min{3-2d,1-2d,1+d,1+d,-2d}=min{1+d,-2d}当时，k(A)取最大值.（III）k(A)的最大值为1.首先构造k(A)=1的，，，经计算知，A中每个元素的绝对值都小于等于1，所有元素之和为0，，>1，.下面证明1是最大值.若不然，则存在一个2行3列的数表A，使得.-5

27、-由k(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x,2]中.由于x>1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值不小于x-1.设A中有1列的列和为正，有h列的列和为负，有对称性不妨设h≥2.另外，由对称性不妨设A的第一行的行和为正，第二行的行和为负.考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过1个正数和不少于2个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x-1（即每个负数均不

28、超过1-x）.因此，故A的第一行的行和的绝对值小于x，与假设矛盾.因此k(A)的最大值为1.关闭Word文档返回原板块。-5-