专题21：恒成立、能成立问题的研究与拓展

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1、专题2.1：恒成立、能成立问题的研究与拓展【问题提出】已知集合A={x

2、x2-5x+4^O],集合-2必+°+2Wo}(1)若求实数o的取值范围；(2)若AqB,求实数Q的取值范围；【探究拓展】探究1：说出下列恒成立或能成立问题的转化策略JT1.f(x)=(7sin2x+Z?cos2x,其中cibH0,有/(x)

3、sin(—兀+―),对任意xeR都有/(%,)1)(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值：(2)若门兀)在区间(-oo,2]上是减函数，且对任意的坷，x2e[1,d+1],总有

4、/(x,)-/(x2)

5、<4,求实数g的取值范围；(3)若于(兀)在区间[1,3]上有零点，求实数d的取值范围.4.已知函数/(x)=x+—+/,g(x)=兀‘一。‘+2d+1,若存在%),x2g—,a(a.>1),使得x

6、/(兀1)一g(%2)

7、S9,求实数G的取值范围.5

8、.已知f(x)=x2,g(x)=(^)x-in,若对Vx,e[-1,3],3x2g[0,2],/(xj3gg),求实数加的取值范围.6.函数/(%)=x2-4x+3,g(x)=mx+5-2m,若对任意的x}g[1,4],总存在x2e[1,4],使/(xj=g(兀2)成立，求实数加的取值范围.3.上题条件改为“若存在X,G[1,4]，总存在x2G[1,4],使/(xj=g(x2)成立”呢?4*+£.?v+14.函数/(兀)=4、+2'+1'若对于任意的州、“2、兀3，均存在以/(州)、/(兀2)、/也)为三边长的三角形，求实数R的取值范围.「3、y探究2：设函数/(x

9、)=x2-l,对任意xw—,+8,/(—)-4m2/(x)223变式1：设函数f(x)=kax-a~x(a>0且aH1)是定义域为R的奇函数.若/(1)=-,且g(X)=戶*沪―y⑴的最小值为_2,则实数加的值为.变式2：定义在D上的函数/(X),如果满足：对任意xeD,存在常数M>0,使得f(x)

10、断函数/(兀)在(-00,0)±是否为有界函数，请说明理由；(2)若9g(0,—],函数g(x)在[0,1]上的上界是H⑷,求H(g)的取值范围;(3)若函数/(刃在[0,+oo)上是以3为上界的有界函数，求实数p的取值范围.解：(1)值域为(3,+oo),故不存在常数M>0,使得f(x)

11、p/+l<3在疋(0,1]上恒成立，求得/疋[-5,1]1+才2、1+才2乂LJLJ拓展2：对任意实数x和任意&丘[0,—],(x+3+2sin0cos&)2+(x+asin&+acos&)2t1恒成立.则实28数g的取值范围为•a-2解：先处理参数兀的恒成立问题，即关于兀的二次函数的最小值大于等于丄，处理的时候需要进行三角换8元，而后处理参数&的恒成立问题【答案】原不等式等价于(3+2sin&cos8-dsin&-dcos0)2n丄，Oe46>e3+2sin&cos&+—/先求—r7-^-sin&+cos&的最大值.3+(x2_1)—§〔令x=sin&

12、+cos&,贝于是/(x)==x+x2x易知/(X)在［1,72］上是减函数,所以/(x)max=/(l)=y,从而4斗3+2sin&cos丄/再求—r——〒丄sm&+cos&4*x=sin的最小值.3+(/—1)—2］in&+cos&,贝!Jxg1,V2~

13、,于是/(x)==x4>2L」x2xI",当sin&+cos0=x=¥时等号成立.从而a<^(x)min=4b.综上，d的取值范围为—,+°°.2>3+2sin&cos&—0,等或aS,处0，£_2.sin&+cos&一2.3+2sin&cos&+—解不等式得a>'sin&+cos0变式1：若函数/(x)=