《一数学归纳法》教学案3

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1、《数学归纳法》教学案教学目标：(DT解数学推理的常用方法(归纳法).(2)了解数学归纳法的原理及使用范围.(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论.(4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题.教学重点：使学生理解数学归纳法的实质.教学难点：掌握数学归纳法证题步骤，尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用.教学过程：一、情景设置(知识导入)探索研究【知识点总结与归纳】(1)理解数学归纳法的原理.(2)数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论.(3)数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题.基本知识概要：1•数学

2、归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n取第一个值弘)时命题成立；然后假设当n=kgN*,时命题成立，证明当〃二肋1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.2.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数处，如果当沪必时，命题成立，再假设当n二k(k鼻呛,kwN)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当“肪1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于弘的正整数处+1，弘+2,…，命题都成立.3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值

3、％结论正确；(2)假设当-kgN,且《2必)时结论正确，证明当,总+1时结论也正确.由(1),(2)可知，命题对于从处开始的所有正整数几都正确.递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.用数学归纳法证题要注意下面几点：②证题的两个步骤缺一不可，要认真完成笫一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对n=k+1的证明：1)突破对“归纳假设”的运用；2)用好命题的条件；3)正确选择与命题有关的知识及变换技巧.二、课堂练习例1、证明：2+4+6+2n=n(n+l)(/te7V+)证明：(1)当斤=1时，左边二2,右边二2,等式成立.(2)假设n=k时等式

4、成立，即2+4+6+2Z:=k(k4-1)那么，当n=k+1时，2+4+6+2W+2伙+1)=比伙+1)+2伙+1)=伙+1)伙+2)=伙+1)[伙+1)+1]所以，n=k+l时等式也成立.由(1)和(2)可知，等式对于任何正整数〃都成立.归纳总结数学归纳法证明步骤：(1)验证当n取第一个值耳)(如耳)=1或2时)命题正确.(2)假设当n=k时伙/70)命题正确，证明n=k+时命题也正确.基础反馈11”"+2①用数学归纳法证明：1+d+o'+…+=—(aH1,刃wN)在验证沪1成1—ci立吋，左边计算所得的结果是().A.lB.1+aC.1+q+q~

5、d.l+^z+^z*"+c?②用数学归纳法证明命题吋，假设S严丄+丄++丄伙W/V+)那么£+1£+22kF2£+1112^+2~1+1③判断下面的证明过程是否正确，如果不正确错在哪?证明：12+22+32+如1严+1)(T)6证明:(1)当斤=1时，左边二1,右边二(1+1)(2+1)=1等式成立⑵假设当n=k时等式成立即若已假设n=k{k>2为A.n=k+时等式成立B.C.n=2k+2时等式成立D.2•设于(畤丄；—k.T—In+ln+2h+3n=£+2时等式成立n=2伙+2）时等式成立卜——占如*僱）/（H+）,则A.12n+lB.—-2/1+

6、212/?+12刃+2D.112n+12/1+21_6所以当n=k+时等式成立由(1)和(2)可知等式对一切正整数均成立.若n为大于1的自然数，求证：丄+丄十.・+丄〉耳卅+1〃+22n241713证明：⑴当"二2时，——+——=—>—+12+21224⑵假设当时成立，即丄+丄+…+丄>旦k+k+22k24贝ij当兀=£+1卩寸,」一+」一+•••+丄+」一+^^+—k+2£+32k2R+12k+2k+1k+131111311>11=1242R+12k+2£+1242k+l2k+213113=1>242(2£+1)伙+1)24课外练习：1.已知n

7、为正偶数，用数学归纳法证明一―…+丄=2(丄+丄+…+丄)时,234h-1n+2斤+42n偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）+22+32+1/…伙+1)(2£+1)6当n=k+时代入12+22+32++/r="("+D⑵?+D得612+22+324-+疋+伙+1尸_(£+1)伙+2)(2£+3)_6伙+1)[伙+1)+1][2伙+1)+1]3.用数学归纳法证F+2?+…+(刃—1)2+7?+(斤—1)2+...+22+]2时，由n=k的假设到证明n=k+时，等式左边应添加的式子是（）A.(£+1)2+2/B.伙+1)2+/C.伙+1)2D

8、.丄伙+1)[2伙+1)2+1]•(2/1-1)”(nwNJ时,2k+2D.k+12.用数学归