《电磁场理论讲稿》习题7

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1、7・1•半径为a的永久极化物质的无限长圆柱，极化强度P二iy£),其中人为常数，该圆柱沿Z轴方向置于空气中，求出全部极化电荷分布及系统的①，,画出它们的示意场图。可求得极化电荷分布为：柱内：pP=—V•P=0np=-inPx-P^=-ir・(-p)=i・“o=posin0(C/M2)・•・在rc=a的柱面上，有极化面电荷分布：r/p=p0sin(p(C/M2)柱面将空I'可分为两个区域，1,11,如图所示，在这两个区域内均无电荷分布，故电位满足拉普拉斯方程即：V2

2、:(1)0=0,0)2有限(2)rc=a.①(3)r.=a,——〜=—=—=—sin^drcdrc£()6(4)/TooET0根据边界条件(3)可将试探解选为:・•・0=(Arc+—)sin(p再考虑到边界条件(1)和(4),则应有①2=AV©sin(p忌B•①］二一sin©7B9由B.C、(2)有：Aa=—.B=a^Aa由B、C、(3)有：g+A=^将上面两式联立，可解得A,3的值为：A=^-3=学CT£()d£()d£()代入①I①2中，可得到空问的电位分布为:9f型丄Si"(V)并可求得空间的电场的分

3、布为：Al任。八一1八1-0；—sin^+z^—cos(0a)电位移矢量为D=£()E+P=<；Po北2（匚sin。一心cos。）P^2(0a)根据E、D的结果，很容易得到E^D的场图.一个z轴为轴线，长度为/的圆柱介质，其中的极化强度为:P=i:Cz（0

4、电常数为£的均匀介质，已知介质的击穿电场为&“，求不产生电击时，导体球的最高电位U””。t/””与球的半径有何关系？请以这个结论为依据解释避雷器的工作原理。解：在匚=/?时£=—•4（Q为导体球的带电量）4亦R2当E=时U=1Q=ERmAnm4兀£R・・・由此可知：血与尺成正比当使用避雷针时，带电云和击穿空气与避雷针构成等位体，即与地球构成等位体，而地球的半径极大，所以不能再次击穿空气，从而安全。避雷针的工作原理如下：由于避雷针的半径极小，所以当带电云接近建筑物时，同样的电场强度，则避雷针的耐压较低。（这也同

5、样是由于避雷针与带电云间的距离较小），致使避雷针与带电云间的空气首先被击穿，电流通过避雷针入地，从而保护了建筑物。7-8.平行板电容器中，崇楼两种介质，试计算图示两种情况下的电容器电容量。解：设板间电压为V,则（1）为两充满不同介质的电容器的并联，（2）为两充满不同电介质的电容器的串联。由于£=常数，在电介质材料屮，电位0^/£V2（D=O,系统的边界条件如下：(1)z=0,①=0(2)z=d.O=V0（3）其余四个面上，分别满足?=0或?=0,对于一个均匀介质平板电容器，如果板面oxdy积为A,间隔为d,则

6、电容量为d・•・对于（1）情况：对于（2）的情况:dd(C/V)(C/V)1_2Ae}e2%%一迪+£2)£iAe2A7-9.一个点电荷q置于一个半径为R的介质球的球心，球外是空气，求系统的①，E,D,P及球面的电荷分布。解：在1,11两个区域内，没有自由电荷存在，（（rs0）,所以满足VD=0则在I区，V•£左=0T点7•片=0II区：V・£（）E=Ot£（）VE=O又因为系统是静态的，所以Vx£=o,所以满足V2(D=0的方程匚TO,也T①〃=^~~4兀£rs则边界条件为:rsToo,2T0rs=R

7、,0>1=O2D眄90."R，二£。寸选用球坐标系，由系统的对称分布可知，系统函数与©就关，参考电源场的形式，选0RB_C_根据边界条件可知：B=2和［A+灭二示仏sB=e()Cq入二q£_£（）4啦’4兀REEq[£z£i+Reeqq4码厂，（0R）士匚(0R)7-10同轴线内导体外半径为a,外导体的内半径为b,中间充有均匀介质，求它单位长度上的电容量。解：设：同轴线内外导体电位差为％,在所考虑区域内(b

8、电荷存在，所以,eVE=O又因为在静态系统内，所以VxE=O所以：