《电磁场理论讲稿》习题2

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1、2-1已知三矢量A=2ix-iy-i:求：(DA+B②A-Cc=-ix+iy+2i：3(AxBye④入与与与2之间夹角的余弦⑤入与C为一对邻边的平行四边形的面积解:—*/s//A=2—(1)A+B=3zv—z,(2)A-C=3ix-2iy-3t(3)(AxB)-C2-110-112=0(4)cos(AAB)AB2-1V3

2、A

3、-

4、B

5、V2-V66cos(BAC)=A。巧(5)

6、AxC

7、=det+lx2-1y-11-12=ViT2-2对于任意的三个矢量A,B,C，证明:®Ax(BxC)=B(A-C)-C(AB)②A-(B

8、xC)=B(CxA)=C-(AxB)解：对本题可采用两种方法计算：直接计算和适当选取坐标系。使其一轴与一矢量平行的方法，下面我们分别介绍这两个方法。1・直接计算法：①Ax(BxC)=B(A•C)—C(A•B)X左二(［色+A®+jdz)XbXa.,a,a,c、.cvxyzxyz优bybz——bxbybz=(-1)2CYcvc.d,tzva7xyzxyz（后面第四十一页到哪里去了）（接第42页）Cyaycz=B-(CxA)・・・A-(BxC)=B-(CxA)axay5C,CyCzc,$Czbxbyb2—“bybz-(-1)2

9、色.ayaz=C(AxB)cvcici.a_b.b.bxyzxyzxyz・・Ax(BxC)=B(A•C)-C(A•B)・.A-(BxC)=B(CxA)=C・(AxB)2.在不失一般性情况下，对于任意给定的入，B,C,选取坐标系，使X轴与C平行,XOY面过B,C侧有A=ixax+iyax+i.a_（注意，这里不能说取C=ixcx，B=ixbx+iyby,因为这样并不具有一般性）于是有：①左=Ax(3xC)///=(ixax+iyay+izaz)xlxbXiyby0=(ixax+iyay+也)X(-IbyCj=iyaxb

10、ycx-ixaybycx右=B(AC)-C(AB)=(也+tyby)[(txax+iyay+La:_(也)K认+Ay+认)•(也+也)]=Gb+Iyby)•axcx-bcgbx+ayby)/s//八=也b©+iyaxbycx-ixaxbxcx-ixaybycx//=gbyCx-ixaybycx左=右）・（也）］②左=2(PxC)=(认+认,+g)・bxax=(认二-心C中=P・(CxP)/SCxax=jbyCXtf=C(AxB)■lxaxbx（也+也）•0+*g)=（U）-■Z.va.0GcJ•[-匚冬“.+iya

11、2bx+iz(axby-aybx)]—ag2-3己知P和A都是常量。求无，使XxB=A解：在不失一般性的情况下，可设—///A=ixAx+iYAY+izAzB=ixBx+iYBY+izBz其中Ax,Ay,Az,Bx,By,Bz均为常数。显然，要使XxB=A能成立，必须，有入丄此时才能有解。另外，由矢量的有关知识可知，只要入丄那么，可以找到任意多的乂，使乂丄入，且XxA=Bo更具体的说，可通过调整乂与入矢量之间的夹角，来调整乂的值。所以，若有解，解也不是唯一的。这表明，使用矢量做除法，是没有意义的。2-4已知两个矢量场

12、1/八八A=ix2x^iyz^izxyB=ix3y-iyxz-iz2y求：矢量场F=AxB并证明在空间各点，F（x,y,z）的场矢量都与入的场矢量垂直。解：依题意F=AxB-二亿2x+f),z+izxy)xf3y_f严/XX=2x3yJ2；zxy-xz-2y=ixyz(x2-2)+iyx){3y+4)-i2z(2x2+3y)根据矢量垂直的定义，若F与入垂直必有戸A=（）故FA=[Zryz（x2_2）+（iy（3y+4）_jz（2兀+3y）]・（（2兀+（z+（胡=yz（x2-2）•2%+xy（3y+4）-z-z（2x2+

13、3y）・xy=0所以，在空间各点，F总是与入垂直。2-5己知2=3匚+4〔+5（,求入在柱坐标和球坐标中的表达式。解：①若入位于原点，即如图2-5-1（孟春，补出图）所示，则有入=3匚+4（+5〔在柱坐标系中(3,v+4iy+5■丿・ixcos(p+iysin(p丿=3cos(p+4sin(p=3--+4•-55=5(ffl2-5-1)二伉+处+)•(-ixcos(p+ixsin0)A=A-l=5zz・•・A=5(「.+i)其傀A戶tg」在球坐标系中:=(3〔+4iy+5j)•(jsin0cos(p+iYsin&sin0

14、+1:cos&)4廿r4i-】4具中弔=lg—A=3V2rs—*AAAA.AA.A#Ae=A-i0=(3ix+4/y+5zz)•(zvcos&cos0+.cos0sm(p-izsm&)=0・・・A=3凤rs②若刁位于（X。岭,Z°）出，即如图252所示,由柱坐标与直角坐标间的变换关系（孟春,补出图）ix