电磁场理论习题答案 (7).doc

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1、习题3.1已知电流密度矢量，试求：(1)穿过面积，，，沿方向的总电流。(2)在上述面积中心处电流密度的大小。(3)在上述面积上电流密度方向的分量的平均值。解：(1)因为，则，则所求总电流为题图3.1(2)容易得到该面积中心点的坐标为：，，，代入的表达式后可得到该点的电流密度矢量为其大小为。(3)的平均值为由于的分布是非均匀的，所以穿过该面积沿方向的电流密度平均值和面积的中心点处电流密度大小不相等。3.2流过细导线的电流沿轴向下流到中心在与轴垂直的导体薄片上。求薄片上的电流密度矢量，并求在平面的扇形区域内的电流。题图3.2解：由前面的分析可知，时，电流密度矢量为那么，在扇形区域内的电流为需

2、要注意的是，这里的电流密度只存在于导体薄层上，为面电流密度，因此在求电流的时候，用的是公式，而不是，但两者本质是相同的。3.3有一非均匀导电媒质板,厚度为,其两侧面为良导体电极,下板表面与坐标重合,介质的电阻率为，介电常数为，而其中有的均匀电流。试求：(1)介质中的自由电荷密度。(2)两极板间的电位差。(3)面积为的一块介质板中的功率损耗。解：(1)介质中的自由电荷体密度为(2)两极板间的电位差为(3)面积为的一块介质板中的功率损耗为3.4设有同心球电容器，内球半径为，外球内半径为，中间充有两层介质，其界面为。内、外层介质的介电常数及电导常数及电导率分别为，；，。(1)若在内、外球间加电

3、压，求两层介质中的及，，处的自由电荷密度。(2)求此电容器的漏电阻。解：根据题意，设从内球面流出的总电流为，可知，则内层介质和外层介质中的电场强度分别为，容易验证上面两式满足介质分界面（）处的边界条件，而内外导体间的电压为式中，。因此电流密度矢量为根据，则处的电荷密度为处的电荷密度为处的电荷密度为而此电容器的漏电阻为3.5铁制水管，内、外直径分别为2.0cm和2.5cm，常用水管来使电器设备接地。如果从电器设备流入到水管中的电流是20A，那么电流在管壁和水中各占多少？假设电阻率是0.01m。解：单位长度的铁管电阻为单位长度的水柱电阻为当水管中的电流为20A时，水柱和铁管中的电流之比为(1

4、)又根据题意(2)所以将(1)、(2)联立求解，可得管壁和水中的电流强度，3.6大气中由于存在少量的自由电子和正离子而具有微弱的导电性。(1)地表附近，晴天大气平均电流强度为，大气平均电流密度约为。问大气电阻率是多大？(2)电离层和地球表面之间的电位差为，大气的总电阻是多大？（地球半径）解：(1)根据欧姆定律可得大气电阻率为(2)在地面附近电流强度可求所以总电阻3.7一铜棒的横截面积为，长为，两端的电位差为。已知铜的电导率为，铜内自由电子的电荷密度。求：(1)电阻；(2)电流；(3)电流密度；(4)棒内的电场强度；(5)所消耗的功率解：(1)铜棒电阻(2)铜棒内电流(3)铜棒内电流密度(

5、4)棒内的电场强度(5)消耗的功率3.8试推导不同导电媒质的分界面上存在自由面电荷的条件解：根据电磁场的边界条件，有在线性媒质中所以题图3.3在分界面上故因此，分界面上存在自由电荷的条件是3.9在电导率为的均匀导电媒质中有半径为的两个理想导体小球，两球心之间的距离为有计算两导体球之间的电阻。解：将两导体球作为两个电极，假定其间电流为。由于因此可认为两个小球互不影响。在空间点由小球产生的电位同理由小球产生的电位那么在空间点处的电位可以求得题图3.4根据这个表示式可以求出小球表面上点的电位，即小球的电位两个导体球之间的电位差为所以两个导体球之间的电阻为3.10在导体中有恒定电流而其周围媒质的

6、电导率为零时，试证明导体表面电通量密度的法线分量，但矢量关系不成立，式中是导体表面向外的法线单位矢量。证明：可以从界面上法线方向和切线方向去分析.法向在媒质1中因为所以，由欧姆定律得在边界上有于是可知媒质2中电流沿界面流动，题图3.5由得根据电位移矢量的边界条件，可得.切向媒质2中于是在边界上有故综上所示，边界上有而电位移矢量因此，命题得证。3.11无限大均匀导电媒质中有分布在有限区域的个理想导电电极，设各电极的电位分别是各电极流出的电流是证明导电媒质中总的热损耗功率是证明：导电媒质中的损耗功率是根据电位的定义及欧姆定率有题图3.6利用矢量恒等式并考虑到均匀导电媒质中得损耗功率(1)(1

7、)式中得面积分在各导体表面无限大球面以及与的连接面上进行。讨论(1)式：.在与的连接面上，因为曲面的法线方向相反，所以积分为零；.因为随着的变化，分别按变化，所以按照变化，而在面上微元按照变化，故在面上的积分因此考虑到各导体表面电位为常数，得导电媒质中总的热损耗功率故命题得证。3.12求如题图3.7所示得二维区域内得电位分布。解：可用二维场来求解。电位满足二维拉普拉斯方程，是一个混合边界边值问题。其解为边界条件为(1),(2)(3)