函数的周期性(基础+复习+模拟题+练习)

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1、课题：函数的周期性考纲要求：了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.教材复习1周期函数：对于函数yf(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有一个周期.，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的2最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.基本知识方法1.周期函数的定义：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数

2、f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（kZ,k0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期.2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）,①fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；②fxafx，则fx是以T2a为周期的周期函数；③fxa1，则fx是以T2a为周期的周期函数；fx④fxafxa，则fx是以T2a为周期的周期函数；⑤f(xa)1f(x)，则fx是以T2a为周期的周期函数.1f(x)⑥f(

3、xa)1f(x)x是以T4a为周期的周期函数.1，则ff(x)⑦f(xa)1f(x)x是以T4a为周期的周期函数.1，则ff(x)⑧函数yf(x)满足f(ax)f(ax)（a0），若f(x)为奇函数，则其周期为T4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T2a.⑨函数xR的图象关于直线xa和bab都对称，则函数f(x)yf(x)x是以2ba为周期的周期函数；⑩函数yf(x)xR的图象关于两点Aa,y0、Bb,y0ab都对称，则函数f(x)是以2ba为周期的周期函数；⑾函数yf(x)xR的图象关于Aa,

4、y0和直线xbab都对称，则函数f(x)是以4ba为周期的周期函数；59/43.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x恒有f(xT)f(x);二是能找到适合这一等式的非零常数T，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.4.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值.问题1．(06山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为A.1B.0C.1D.2问题2．1(00上海)

5、设f(x)的最小正周期T2且f(x)为偶函数，yA它在区间0,1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间1,2上,2Bf(x)12已知函数f(x)是周期为2的函数，当1x1时，f(x)x21，012x当19x21时，f(x)的解析式是3fx是定义在R上的以2为周期的函数，对kZ，用Ik表示区间2k1,2k1，已知当xI0时，fxx2，求fx在Ik上的解析式。问题3．1（04福建）定义在R上的函数fx满足fxfx2，当x3,5时，fx2x4，则A.fsinfcos；B.fsin1fcos1；66C.

6、f2fsin2D.fcos2fsin2cos332（05天津文）设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且yf(x)的图像关于直线x3对称，则下面正确的结论是A.f(1.5)f(3.5)f(6.B.f(3.5)f(1.5)f(6.5)C.f(6.5)f(3.5)f(1.D.f(3.5)f(6.5)f(1.5)问题4．R上的函数fx，对任意xR，有fxyfxy2fxfy，定义在且f00，1求证：f01；2判断fx的奇偶性；3若存在非零常数c,fc0，①证明对任意xR

7、都有fxcfx成立；使2②函数fx是不是周期函数，为什么？问题5．（01全国）设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x1对称，对任意的x1,x20,1，都有f(x1x2)f(x1)f(x2).21设f(1)2，求f(1)、f(1)；2证明：f(x)是周期函数.2460/43记anf2n1，求lim(lnan).2nn课后作业：1.（2013榆林质检）若已知f(x)是R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x0,2时，f(x)2x2，则f(7)等于A.2B.2C.98D.982.设函数f

8、x（xR）是以3为周期的奇函数，且f11,f2a，则A.a2B.a2C.a1D.a13.函数f(x)既是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在1,0上是减函数，那么f(x)在2,3上是A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数4.设f(x)x1x)f{f[ff(x)]}，则f2007(x)x，记fn(1n个f5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f3，且f23，x2则f(2014)6.设偶函数f(x)对任意xR，都有f(x3)1，且当x3,2时，f(x)f(x