2018年高考数学专题19正、余弦定理的应用黄金解题模板

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1、专题19正.余弦定理的应用【高考地位】正余弦定理是三角函数屮有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一判断三角形的形状使用情景：已知边与三角函数Z间的等式关系解题模板：第一步运用正弦定理或余弦定理将己知等式全部转化为都是角或都是边的等式；第二步利用三角函数的图像及英性质或者边与边之间的等式关系得出所求的三角形的形状；第三步得出结论.例1在AABC屮，已知dcos

2、B=bcos4,那么AABC—定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】试题分析：因为acosB=bcosA,由正弦走理得sinjfcos^=sinBcosAgpsin=^-5）=0,所以X=所以三角形为等腰三角形，故选A・考点：正弦走理.【点评】解决这类问题的方法通常有两种思路：一是将等式两边的边运用正弦定理全部转化为正弦角的形式，使得式子只有三角形式；二是运用余弦定理将右边的coSjB^为边的形式，使得等式只有边与边之间的等式关系.【变式演练1】在AABC中，角A,B,

3、C所对的边分别为a,b,c,若-0,所以cosB<0,那么兰vB<兀.2考点：1・正弦定理；2.解斜三角形.【变式演练2】在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为d,b,c,若B=-,且g,3b,c

4、成等比数列，则AABC-定是（）A.不等边三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】D【解析】试题分析：由abc成等比数列可知：M=g又因为根据余弦定理：8詔—沪，32ac则［一巴整理得处=储，即3-沙=0,所以，又所以辺C为22ac3等边三角形.考点：1.等比数列；2.解三角形.【变式演练3】在ABC中，若c=2acosB,则ABC的形状一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰三角形【答案】D【解析】试题分析：6r=2acos_BsinC=2sinJcos5sin（虫+月）=2銅

5、AcosBsin^cos5-f-cos^sinJ3=2sin/cos0/.sin^4cos5—cos^4sin5=0.sin（-f4—5）=O.A=B三角形为等腰三角形考点：正余弦定理解三角形【变式演练4】在ZABC中，若2cosBsinA=sinC,则ZABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【答案】C【解析】试题分析：2cosBsinA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB-cosAsinB=0,所以sin(A-B)=0,所以A

6、二B,三角形为等腰三角形考点：三角函数公式类型二解三角形中的边和角使用情景：三角形中解题模板：第一步直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理；第二步利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论.cosBcosC2寸3sinA例2在锐角屮,角力的对边分别为Q,b,c,若bc3sinC,cosB十©sinB=2,则Q+c的取值范围()【答案】B【解析】由题意竽+竽=竽貯可得:ccdsB+bcosCsinCcosB+sinBcosCsm(B+(?)bebsmCbsinC3sinCcosB+=2B-1-

7、^-sinB)=2sin(B+£)=20

8、sinA+^cosA=^sin(力+£故答案选B【点评】在解三角形中求范围问题往往需要转化为角的问题，利用辅助角公式，结合角的范围求得最后结果。在边角互化中,注意化简和诱导公式的运用。C所对的边长分别为d,b,c,若a=V2,b—VJ,5=-,则4=()371n5龙71A.—B.C.—664【答案】C【解析】

9、二二子则A=：、选c.4考点：正弦定理.【点评】正弦定理主要解决两类三角问题：其一是已知二边及其一边的对角求其中一角的情况；其二是已知一边及其一对角求另一边的情况•【变式演练3】己知AABC屮，。=小b=2,B=45°,若三角形有两解，则兀的収值范围是（）B.x