考点30--函数零点的求解与判断

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1、考点30函数零点的求解与判断1.(13湖南T16)设函数/(x)=ax+bx-cx,其中c>a>0,c>b>0.(1)记集合M={(a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b,则(aMeM所对应的/(兀)的零点的取值集合为—.(2)若a,b，c是的三条边长，则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)®VxG(-oo,l),/(x)>0；②3xgR,使不能构成一个三角形的三条边长；③若为钝角三角形，则3xe(l,2),,使/(x)=0.【测量目标】对数的运算，对数、指数函数的性质，余眩定理，函数零点存在性定理.【难易程度】较难【参

2、考答案】{x

3、0a>0,c>b>0,a=b且a,b,c不能构成三角形三边,•••0v2q京怙,・・.£2.(步骤1)令f(x)=0得2ax=cx,即£=2.(步骤2)aa)1c:.x=logc2:.—=log2—…1•••0V兀？1(步骤3)(2)a,b9c是三角形的三条边长,ab•••a+b>ctc>a>0,c〉b>0,二0v—v1,0v—v1•••当xw(-°°,1)时，cc/(X)=6/v4-bX-CX=CX(-Y+(-)X-1>¥+@_1)=汽°+1〉0(步骤4)ccccc•••Vxw(-oo,l),

4、/(x)>0故①正确(步骤5)；②令a=2#=3,c=4,,则a、b、c可以构成三角形•但/=4,戻=90=16却不能构成三角形，故②正确；(步骤6)③-oa.ob且为钝角三角形,.a2+b2-c2<0又/(I)=a+h-c>0,/(2)=a2-^b2-c2<0/.(步骤7)函数/(x)在(1,2)上存在零点，故③正确.(步骤8)2.(13天津T7)函数/(x)=2r

5、log05x

6、-l的零点个数为()A.1B.2C.3D.4【测量目标】函数的图彖，函数零点的判断.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】令f(x)=2V

7、log05x

8、-1=0,可得

9、

10、log05x

11、=—・2丿/1设g(x)=

12、log05x

13、,A(x)=-,I/丿在同一坐标系下分别画出函数g(x)M(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点,因此函数/(x)有2个零点.3.(13福建T20)已知函数f(x)=sin(0,0<^>

14、o)g(Xo)按照某种顺序成等差数列？64若存在，请确定％的个数；若不存在，说明理由.(3)求实数Q与正整数川，使得F(x)=/(x)+ag(x)在(0,〃兀)内恰有2013个零点.【测量目标】三角函数的图象及其变换，同角三角函数的基本关系，等差数列的性质，函数零点的求解与判断.【难易程度】较难2tt【试题解析】解法一：⑴由函数/(x)=sin(ex+0)的周期为兀，^>0,得co=—=2又曲线y=j(x)的一个对称中心为］-,o^e(0,兀),(4丿=sin&丿14丿故/=0,得(p=—f所以/(.¥)=coslx.(步骤1)将函数/W图象上所有点的

15、横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos兀、X--的图象，所以g(x)2丿TT再将y=cosx的图象向右平移一个单位长度后得到函数g(x)=cos4^=sinx.(步骤2)⑵当兀U时,(64丿1V21—cos2x>sinxcos2x.(步骤3)、、(兀7T)_问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在一,一内是否有解.(64；/、7171设G(x)=sinx+sinxcos2x—2cos2x,xW则Gf(x)=cosx+cosxcos2x+2sin2x(2—sinx).(步

16、骤4)所以G©)>0,G(x)在二，二内单调递增.(64丿16'4丿的图象,又G=--<0,G(H<6>4a因为xW且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在一，一内存在唯一零点164丿Xo,(兀兀、即存在唯一的xoW—,一满足题意.(步骤5)(64丿(3)依题意，F(x)=asinx+cos2x,令F(x)=asinx+cos2x=0.当sinx=0,即x=k7i(kWZ)时，cos2x=l,从而x=kn伙丘Z)不是方程F(x)=0的解，(步骤6)rnc9V所以方程F(x)=0等价于关于x的方程a=-竺二sinx，時Atc(PWZ).现研究兀

17、丘(0,兀)U(兀’2兀)时方程Q=—cos2xsinx的解的情况.(步骤7)令