第八讲多元函数微分(二)

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1、第八讲多元函数微分二x=y2解：y=y_3z=y・一、例题选讲:1、曲线的切线方向与曲面的法向量的计算。名称方程类型方程向量计算法曲参数式Vx=e⑴y=0⑴Z-co(t)卞={0仏),000)400)}线—般式y,z)=0G(x,y,z)=02耳汎其中耳={E，尺,Q，耳={G；,G：,G；}曲•般式F(x,y,z)=0H=(F；,F；,F：}显式z=/(%,y)n={z：,z；-1}而参数式

2、2、求J^Z=1在（1,1,1）处的切线方程。x・•・

3、,z)=f(x2+y2)-z,.={2xQf2yQf-l}而混合积2y°F-ioi=o,・・・法线与刁轴相交。）bzo解:4x+2zz；+8z+8q；-z；=0今4y+2zz：+8xz：_z：=0，、解得:z、,=04x+8z=04y=05、由2x24-2y24-z24-8xz—z+8=0,确定了z=f(x,y),求极值。]Ao又2x~+2v~+z~+8xz—z+8=0,得驻点(—，()，—)，(-2,0,1)774+2(z：)2+2zz：+8z：+8z；+8兀z：-z：.=0再求二阶导：v

4、2z：z；+2zz：+8z；+8xz：-z；=0.4+2(z：)2+2zz；.+8xz：-z；「=0在(—,0,--)a=-—,B=0,C=-—,/JJ=AC-B2>0,A<0,极大值为一§771515744°在(・2,0,1)A=—,B=0,C=—,/JJ=AC-B2>0,A>0,极小值为]。15156、/（x,y）=x2-2xy+y2求（2,3）处的方向导的最大值。解:gradf(x.y)={2x—2y,—2x+2y}={—2,2},址ulmax==2a/2o7、在椭球®2x2+2y2+z2=1

5、上求一点,使/(x,y,z)=x2+y2+z2沿A(1,1,1)到B(2,0,1)方向导具有最大值。(不必判别)解：f；=2xj；=2yj；=2z,一11心{1,-1,0}丿={石-厉,0}^=V2(x-y),lL2x2+2/+z2=1,设厶二x-y+A(2x2+2/+z2-l)3/厶：=1+4/lx，解得:：=_l+4/ly—2/lzL；=2x2+2/+z2-1df(11dl2辺二-血，即点为G，-5。）°228、求F+歹：z「6在（],],2）处的切线。z=x+y解：F=x2+y2+z2-6,n

6、x={2x,2y,2z},即斥={2,2,4}G=x2y2-z,h2={2x,2y,-l},即方？={2,2,-1}X—1V—17—2?=Xn2={-10,10,0},切线为：:==o$1-J09、曲而S：頁+J7+«=1,求该曲而的切平而使其在三个坐标轴上截距Z积最大。解：F=長+爲+近-,2y[x切平面为:1yfx（X—兀）+1(Y—刃+~^=(Z—z)=0,截距之积为,设厶=xyz+A(Vx+^+Vz-1)A2/x，解得平而为x+y+z—丄=0。L久=[x+yj~y+Vz-110、当兀>

7、0,y>0,z>0时，求比=Inx+Iny+3InzSx2+y2+z2=5R2上的最大值,并证明:abc3<27()5,q>O.h>0.c>0□解:F(x,y,z,A)=Inx+Iny+3Inz+A(x2+y2+z2-5R2)F弓+2幻，得唯一驻点：（/?,/?,能R）F；=-+2AxX3F!=-+2AzzF；=x2+y2+z2-5/?2wmax(R,R,y/3R)=In3逅R，。filnx+lny+31nz

8、)5,a=x2,b=y2,c=z1,abc3<27(°+"+')5。综合提高题多元函数微分学二一、客观题：aJTJT1、/（兀，刃=sinx+cosy+cos（x-y），则［/（",刃在区域0?<—22有最大值-V3,最小值0o222、w=ln（x2+y2+z2）在点（1,2,-2）处的梯度为一{1,2-2}曲面z-+2xy=3在（1,2,0）处切平面方程为2x+y—4=04、在曲线x=t.y=-t2,z=t3的所有切线中与平面x+2y+z=4平行的冇