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1、知识点：多元函数微分概念1．背景知识与引入方法二元函数的微分概念的要点是：在一点附近用线性函数近似地表示函数，微分的几何意义是在一点附近用平面近似地代替曲面．微分就是将函数“局部线性化”，或者将曲面“局部展平” ．理解微分概念的关键是理解“线性化”和“局部”的含义.微分概念有不同的表述方式，它们在理论和应用方面有不同的优点．可以根据专业背景和学生的接受能力，选择不同的讲解方法．2．该知识点讲解方法讲解方法一：设二元函数在的某个邻域中有定义.当自变量有改变量时,如果存在一个以为自变量的线性函数,使得函数改变量可以表
2、示成(1)其中满足(2)则称在点可微.其中线性函数称为在点的微分(即全微分),记作或.讲解方法二：设二元函数在的某个邻域中有定义.当自变量有改变量时,如果存在常数,使得函数改变量可以表示成(1)其中满足(2)则称在点可微.其中是变量的线性函数,这个线性函数称为在点的微分(即全微分),记作或.注释：讲解方法一和讲解方法二基本相同，只不过方法一更加抽象．在近代分的教科书中，一般使用讲解方法一；国内的微积分教科书中一般采用讲解方法二.上述两种讲解方法虽然严密，但是比较抽象，初学者不容易理解.国外一些有影响的教材大都不采
3、用这种定义方法，而是采用一些变通方式，降低难度以便于学生理解.当然，降低难度不能损失科学性. 讲解方法三如果存在常数，使得函数在的改变量可以表示成其中是的函数，满足,则称在可微，并且称是在的全微分. 注释：讲解方法3与讲解方法2的区别仅在于误差的形式.可以证明两个定义是等价的.(见下面相关知识中的定理1.)这个讲解方法的好处，是对于复合函数微分法的证明会带来一些方便．缺点是比较抽象，而且不如讲解方法一、二那样切中微分概念的关键之处（即）. 具体建议：可以将这个讲法作为可微性的充分必要条件讲解．（参考[1]） 讲解
4、方法四设二元函数在点存在两个偏导数.令如果当时，有则称在点可微，并且称为在点的微分.当在点可微时，用表示在点的微分，即注释：这个定义的优点是直接点出微分表达式，并且概念本身就明确了函数可微性与偏导数存在性之间的关系.因此概念比较直观、易懂.虽然在抽象程度上有些折扣，但是在科学性方面并没有任何损失.另外，用这种方式定义微分概念，对于讨论微分学的若干概念问题，以及定理证明都会带来方便.(参考[3])例题例题１：求函数在任意点的全微分和点处的全微分.解当时,,,并且两个偏导数都连续,所以当时,例题２：讨论函数的在原点是
5、否存在偏导数，是否可微.解：当时，..当时，注意到，所以，因此处处存在偏导数.下面证明函数在点处不可微.下面证明在点处不可微． 反证：如果在点处可微，则在点的微分就是又根据微分定义，当时，但是，最后这个等式不成立，因为当时，与相比较不是高阶无穷小量.例如当时，有于是据微分定义推出，在点不可微. 例3：两个电阻和并联以后的电阻为.假设的标定值为300ohms,相对误差不超过2%；的标定值为500ohms，相对误差不超过3%.试确定并联电阻的最大相对误差.解：根据题意，有，由于，所以于是的相对误差近似地等于因此近
6、似地得到1．难点问题及解决方法多元函数微分概念是一个教学难点，主要原因是概念比较抽象，同时这个记号也不容易理解。 解决方法１：如果用讲解方法1进行教学，可以借助于简单直观的例子引入概念，并且用近似计算的例题解释微分的本质:引例：设有一个矩形，其长、宽分别为.由于环境温度变化,它的长和宽分别改变了，问其面积改变了多少？若记面积改变量为.则(图3-1).这个问题很简单，但答案却很有意义.它说明面积改变量可以分成两部分，一部分是自变量图1改变量的线性函数;而其余的部分则满足下面的条件：这个现象启示人们考虑这样的问题:
7、当二元函数的自变量在点有改变量时,由此产生的函数改变量能否表示成下述形式:其中是与无关的常数,是与有关的量,当时,满足.研究这个问题就导致函数微分概念的建立.解决方法２：建议采用讲解方法4．这种定义方法比较直观。直接给出微分表达式，定义本身就明确了微分与偏导数的关系。可以使微分学该之间的关系简单明了，并且有助于简化一些定理的推导过程。虽然在抽象程度上有些折扣，但是在科学性方面并没有任何损失.常见错误分析1.函数在一点的微分是自变量改变量的函数，学生往往理解不清楚这一点.特别是对于在任意点的微分，常常混淆和的区别。
8、2.1．与其他知识点的关联（１）多元函数的线性近似．以二元函数为例，令当时，有所以，如果在点不全等于零，则当时，有于是若用微分作为函数改变量的近似值，则当很小时，相对误差也非常小．（１）曲面的切平面 二元函数的微分有明显的几何意义．假设函数在点可微，则曲面在点的切平面方程是法向量为．（２）证明微分概念2与微分概念4互相等价(概念1与概念3等价). 定理１：函数在可微的充分
