备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题29四法破解平面向量的数量积

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1、专题29四法破解平面向量的数量积考纲要求：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.2.掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算.基础知识回顾：1.平面向量数量积⑴平面向量数量积的定义:若两个非零向量$与已它们的夹角为&,贝燉量abcosO叫做$与〃的数量积(或内积)，记作a*b=a\bcos0,规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个非零向量日与6垂直的充要条件是a・b=0,两个非零向量日与方平行的

2、充要条件是b=±l^

3、b.2.向量数量积的运算律：(1)a•b=b•a.(2)(a)•b=入(a■山=a•(入4・(3)(a+Z>)•c=a•c+b•c.3.平面向量数量积的几何意义：数量积日•〃等于曰的模间与b在0的方向上的投影bcos0的乘积.4.平面向量数量积的重要性质：(1)e•a=a•e=acos(2)非零向量b,2丄b^a•b=0；(3)当$与b同向时，a*b=a\bx当$与b反向时，a•b=—a\b(5)

4、a•A

5、^

6、a

7、b.5.平面向量数量积满足的运算律⑴a・b=b・交换律)；⑵(久日)•〃=久(日・勿=$•(久〃)•(久为实数)；(3

8、)(a+A)•c=a•c+b・c.6.平面向量数量积有关性质的坐标表示：设向量a=Ui,yi),方=(屍，乃)，则8・6=山益+刃乃，由此得到：⑴若2=(*力，贝ij

9、a

10、2=/+y,或

11、a

12、=V?+7.⑵设/On,yi),〃(卫，乃)，则力，〃两点间的距离AB=AB=yj—x—X2—M-—y—y2⑶设a=(xi,yi),b=匕2,刃)，则曰丄旳xi屍+/乃=0・应用举例：类型一、平面向量的数量积的运算【例1][2017大连市一中高三摸底考试】设向量方=（一1⑵,h=（//a1）,如果向Sa+2b与2方一方平行，那么g与b的数量积等于（）~2【答案】D【解析】ci+20=

13、（—1+2/77,4）,2a—b=（―2—/几3）,由题意得3（—1+2/〃）一4（—2—/〃）=0,则m=+2X1=-所以方・b=-x/?=2,且【例2]【广西贺州市桂梧高屮2018届高三上学期第四次联考】设向量/,b满足a=1,则向量〃在向量a+2h方向上的投影为（）A.卫13【答案】A【解析】丁&丄（a+F）,・；a・（a+/）=i+a?F=o,=l+4&?b+16=13,贝qp+纲=Y乜，又a・（a+2^）=a?（a+町+a・£=-i，故向量&在向量a+场方向上的投影为-i=彳1313【例3】在平行四边形ABCD中，低2,心I,厶“，点M在^边上，且秋十B,则亦•丽3C

14、.-1D.1【答案】D【解析】—AB=2AD=1ZA=60,・・・而丽=（丽+丽）•（丽+码丽+押）何+码曲+押亦押41=1+—xlx2xco$120°+—x4=133故选D类型二、平面向量的数量积的性质平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.常见的命题角度有：角度一：平面向量的模；【例4】【云南省曲靖市第一中学2018届高三高考复习质量监测】在矩形力BCD中，AB=3fAD=2fP为矩形内部一点，且恥"，则肝•处的取值范围是.【答案】(2”立］【解析】^-^=ACcos^PACf画图分析可知AP-AC=ACcos^PAC的

15、范围是(2,屈］，故填(2,、陌］.【例5］［2017江苏省苏州市高三摸底】向ftn=(cos10°,sin10°),.b=(cos70°,sin70°),a-2b=【答案】V3【解析】打ySTL+S心#=360。=新

16、=

17、弭L,掐拐

18、=原茗忑冷【例6】【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考】己知MBC的三边垂直平分线交于点0,ci,b,c分别为内角A,5C的对边，且c2=2b(2-b),则葩•就的取值范围是.丫2)【答案】一一,2I3丿如图，延长A0交M5C的外接圆与点连接BD、CD,则ZABD=ZACD=90°.所以右(D又c2=2b(2-b)=4b-2/?

19、2,G1QO9把创弋入O得花反=(3fe2-4/?)=-0--)2--,ffl2V丿233又?=2b(2-b)>0,所以0