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《备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展练习：专题28平面向量的数量积求解两法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题28平面向量的数量积求解两法【热点聚焦与扩展】平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平而图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现.关于数量积的运算，除上一专题介绍的利用投影定义，本专题继续介绍两种方法，一是遇到儿何图形中计算某两个向量Q"数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要索（G"模长，夹角），那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将两个向量表示出来，进而进行运算•这也是在几何图形屮处理向量数
2、量积的一个重要方法.二是若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写11!点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解.（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：1、平面向量基本定理：若向量弓为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量0,均存在唯一一对实数使得0=也+心2・其中弓，勺成为平而向量的一组基底•（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）2、向暈数暈积运算a-b=a•bcos3，其屮〃为向量d"的夹角3、向量夹角的确定：向量的夹角0指的是将d"的起点重合所成的角
3、，&丘［0,龙］77英屮0=0：同向0=71:反向0——：◎丄/?24、数量积运算法则：（1）交换律：cib=b-a（2）系数结合律：2（a・b）=（加）・b=d•（肋）（2wR）（3）分配律：（d+b）・c=Q・c+b・c因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同：例如：（a±b）=a±2a-b+b（Q+b）・（a-b）=05、若a=入仏勺，则a-h由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将d"用基底表示出來，则可计算d・b（二）选择合适基底解题的步骤与技巧：1、如何选
4、择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了.所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知.常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法有：（1）向量的加减运算（2）“爪”字型图：在ABC中，D是BC±的点，如果BD:CD=m:n,贝0JT1/?AD=AC+AB,其中AD.AB.AC知二可求一•特别的，如果AD是BC边m+nm+n上的中线，则
5、AD=-AC+-AB2243、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即对，但在计算过程中要注意基底的夹角（二）平面向量的坐标运算1、向量的坐标表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量弓,£不共线，则对于平面上的任一向量a,存在x,ye/?,使得a=xe}+ye2,且这种表示唯一•其屮（弓,勺）称为平面向量的一组基底，而有序实数对（坨y）称为在（弓,勺）基底下的坐标（2）为了让向量能够放置住平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底ij,在方向上它们分别与轴的正方向同向，在长度上，i=./=!,由平
6、面向量基本定理可得：平面上任一向量Q,均有a=xi+yj,其坐标为（兀丿），从图上可观察到恰好是将向量a起点与坐标原点重合时，终点的坐标（3）己知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设4（兀1切）,3（兀2，力），则=（兀2_州，旳_必）（可记为“终”一“起”），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标白然可求.另外A,AB三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标2、向量的坐标运算：设。=（西,）［）,b=（兀2,%），则有：（1）加减运算：a±b=^x{±x2,y{
7、±y2）（2）数乘运算：2a=（2x,,2y1）（3）数量积运算：a-b=xxx2^y{y2（4）向量的模长：a=Jx；+y；3、向量位置关系的判定：(1)平行：a//b<^>xly2=x2y{(2)垂直：。丄Z?<=>6z-Z?=0<»x1x2+yxy2=0（3）向量夹角余弦值:4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标,则问题常常迎刃而解.但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解•如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三
8、角形，圆形（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形（3）具备特殊角度的图形（30,45,60,120等）【经典例题】例1.【2018届浙江省金华十校4月模拟】已知平面内任意不共线三点4B,C,则乔・BC+BC-CA+CA•乔的值为(A.正数B.负数C.0D.以上说法都有可能【答案】B【解
