2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题25 平面向量的模长问题

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1、专题25平面向量的模长问题【热点聚焦与扩展】平面向量中涉及模长的问题，常用解法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，因此，解答这类问题时可以利用数形结合的思想，利用代数和几何特征，会加快解题速度.本专题拟通过典型例题，介绍代数法和几何法两种思路，以期对大家有所启发.（一）代数法利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过可得：，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向

2、量）找到联系.要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若，则.某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题（二）几何法1、向量和差的几何意义：已知向量，则有：（1）若共起点，则利用平行四边形法则求，可得是以为邻边的平行四边形的对角线（2）若首尾相接，则利用三角形法则求出，可得，围成一个三角形2、向量数乘的几何意义：对于（1）共线（平行）

3、特点：与为共线向量，其中时，与同向；时，与反向（2）模长关系：3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设三个内角所对的边为①正弦定理：②余弦定理：（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形.（3）矩形：若四边形的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长【经典例题】例1.

4、【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】连结，则∵∴∴的最大值为1故选B点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，

5、转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.例2.已知向量的夹角为，且，则（）A.B.C.D.【答案】【解析】思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知，只需利用余弦定理求出即可.解1：如图可得：，在中，有：例3.已知向量，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】解2：因为即例4.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由已知可得：，建立平面直角坐标系，，，可得

6、：点睛：本题主要考查的知识点是向量的数量积及模的关系.通过建立平面直角坐标系将其转化为点与圆的位置关系，就可以求出距离的最值，解答本题的关键是转化，理解并掌握本题的解题方法.有一定的难度.例5.【2018届北京市城六区高三一模】已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是A.的取值范围为B.取值范围为C.的取值范围为D.若，则实数的取值范围为【答案】B【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣

7、2，故A正确；设M（1+cosα，1+sinα），N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），则=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos（α﹣β）+2，∴0≤≤2，故B错误；故选B．例6.【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】【名师点睛】本题通过设入向量的夹角，结合模长公式，解得，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．例7.【

8、2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，

9、a

10、=2，

11、b

12、=1，则

13、a+2b

14、=.【答案】【解析】试题分析：所以.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为.例8.【2018届山西省孝义市高三下学期一模】已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________．【答案】【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.详解：如图所示，∴∵，∴∴所以向量与的