2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题68 统计案例

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1、专题68统计案例【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，对统计案例的考查重点有用样本估计总体、回归分析和独立性检验等．考查数据处理能力以及分析问题解决问题的能力.有时概率统计问题一同考查.难度控制在中等．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.1．变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．2．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果

2、这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程为＝x＋，其中.(3)通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．(4)相关系数：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常

3、r

4、大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．3．独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，

5、其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d【经典例题】例1.【2017山东，理5】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：由已知,选C.例2.【2018届【衡水金卷】四省第三次大联考】近年来,由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满

6、了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名(其中男生6000名,女生4000名)在校本科生.按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计.通过整理得到如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中,月消费金额超过2000元的女生有150人，根据上述数据和频率分布直方图,判断下列说法正确的是（）参考数据与参考公式:其中A.月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数B.所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人C.样本数据的中位数约为1750元D.在犯错的概率不超过的情况下认为月消费金额在2000元以

7、上的大学生与性别有关【答案】D月消费金额不超过500元的人数为0.004×5×1000=20人，故选项B错误；又由频率分布直方图知，当消费金额小于1750元时，频率为（0.004+0.027+0.039）×5+0.08×5×=0.55>0.5.选项C错误；由条件可以列出列联表：　男生女生合计消费金额不超过2000元500人250人750人消费金额超过2000元100人150人250人合计600人400人1000人故K2的观测值，所以在犯错的概率不超过0.1%的情况下可以判断月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关.本题选择D选项.例3.【2018届安徽省江南十校二模】甲乙两个班进行物理

8、测试，其中女生人，男生人，从全部人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等.（1）完成如下列联表及格不及格合计女男合计（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取人，记抽取的人中不及格人数为，求的数学期望和方差.附：.【答案】（1）见解析（2）没有（3），∴【解析】分析：（1）根据题意填写列联表即可；（2）利用列联表和所给公式求值，再利用临界值表进行判定；（3）先判定该分布为二项分布，再利用二项分布的期望公式和方差公式进行求解．详解：（1）及格不及格合计女男合计例4.【2018年理数全国卷II】下图是某地区2000

9、年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】（1）利用模型