微毛细管的理论分析

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1、微毛细管的理论分析（一）波动方程和电磁场分布计算11.常用恒等式Vx(VxA)=V(V•A)-V2A⑴散度ddd=—+—+—dxdydz(2)梯度Vf=7^+7^+i^JXdxydyZdz⑶Laplacian算子沪=兰+互+工dx2dy2dz2无源介质中的Maxwell方程Vx£=-—dtV*//=0(8)V*D=O其中D=eE=£^£rE,B=pH=卩屮卑，对于非磁介质“厂=1。假泄电磁场的时间依赖为exp（ja）t）,则Vx(VxE)=VxdBIt/Vx-Ao17丿=—丿硕（）&x^）=-j

2、呱・竽=一丿切（点•芋=ot^eE-Aovx(嗣(9)又Vx(VxE)=V(V•E)-V2E，故V2E4-692//o£E-V(V*E)=O(10)因为v>5=o,故v•（龙）=o,展开v・@E）得，故(11)V•(£&)=(V•e)E+r(v•E)=r0[(V•^/.)E+rr(V•E)]=0-(V•£)-得=因此，v(v.E)=y_(v・s)e(12)LJ」当耳变化量很小，V(V・E)=O。式(10)最终简化为V2E+沪“(局££=0(13)因为c—I>n=,式(13)可以写为VAo^o22

3、V2E+-^E=0(14)LCV2E+k2n2E=0(15)2.横向电场方程和轴向电场方程的分解考虑横向电磁场和轴向(Z向)电磁场的分离，令£arSy-9032心町+治(16)假定电磁场的Z向传播依赖为exp(丿0Z)V2E=Vz2E+^f=Vz2E-^2£(17)dz_代入式(15)V2E+k2n2E=~/32E+k2n2E=Vz2E+-/?2)E=0(18)将电场E分解为横向和轴向(Z向)，E=E+Ej，代入式(18),町(E+El)+伙h-02)(E+E1)=O(19)因为横向电磁场和纵向

4、电磁场相互正交，所以式(⑼在横向和纵向各自应该分别等于0,即伙m_02)e二。(20)X_a_i/+厂。厂+r2dO2如果对于横向电磁场采用柱面坐标系（r,e,z）,(22)对于微毛细管而言，是在垂直于Z轴的横向激发WGM模，故E不随z变化，即不依赖于z,即此时的0=0,综合式（21）和（22）得+n2k2Ez=0(23)令Eg)=RO©⑹,则2d02(24)警")0(0)+丄&⑹+-1哼⑹+n2k2R„(“⑹=0dr°rdr-分解为譬翌&（&）+丄嘤Z2&（&）+風2_or'rdr兀⑹加厂m2

5、r2+加20(0)=0心（识（&）=0(25)(26)得到方程(27)0（&）=严现(厂)1処(厂)*+——dr2rdrr22Y)V2)=0(28)令R。）=y^nkr=x,式（28）中的前两项微分分别为球（厂）—二—-niXr92球（厂）r—亍二—“代2学2学(29)dr2dx2dr2dx2dx2BRz(门=nk^,3/?_(r)r—f-—=(30)drdxdrdxdx式（29）、（30）代入式（28）得2d2y兀+.ar4+a-OXm2)y=0(31)式（31）是一个标准的Bessel方程,

6、其解为R：(C=y=A・儿(兀)+B•Nm(x)(32)式中A,（）为m阶第一类Bessel函数，N»为m阶第二类Bessel函数。由于Z向依赖0为0,类似可得磁场满足孑比1识dr2rdr1d2H.+n1k1Hz=0对于轴向对称的波导而言，折射率不依赖于&,对于单模光纤轴向激发传输的情况，且0工0,横向电磁场和Z向电磁场的关系为$L/〃退+绝理］［^2/?(r)2-/?2］Vdr厂朋丿dH.二j/严叫rk2n(r)2-J32drr丿Ho=J(P^HZk2n{rY-p2r30+吐0〃（厂F

7、芈or）(34)(35)(36)(37)此时，对于TE模，E:=0f利用边界连续条件，可得E,=H&=0,即电磁场只存在HNS对于TM模，比=0,利用边界连续条件，可得E,=Hr=0f即电磁场只存在Ez,H0,Ero3•对于毛细管在横向激发，0为0的情况下，电磁场分量则简化为dH:~d3识、一j说乔＞CO£{}ErdrCD£{}£vr30JdEzA朗®。CO£{)n2BE二幽）dr(38)(39)(40)(41)(1)TE模下，乞=0,故H严H&=0。/满足方程(33),根据式(27)和(32)

8、得到比=/?")&：(&),相应地有令=加/?")?(&)=加/,代入式(38)得d&(42)HCO£^rr爲由式(39)求得。在微毛细管谐振中，TE模的径向电场(radialelectricalfield)远大于角电场(angularelectricalfield)'。第一类Bessel函数打()在r=0为有限值,第二类Bessel函数號()在r=0为无限值,第三类Bessel函数也叫Hankel函数，血'心)=几3"叫©)(43)(44)式(43)为笫一类Hankel函数，代表向外传播得柱面