导数及其应用(高考压轴题)

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1、六安二中2014级高二理科数学培优材料(二)材料范围：导数在高考中的压轴题1.[2014新课标全国卷II]已知函数f(x)=ex—e~x—2x.(1)讨论兀0的单调性；⑵设g⑴=/(2x)—4城x),当兀>0吋，g(x)>0,求b的最大值；(3)已知1.4142<^/2<1.4143,估计In2的近似值(精确到0.001).3.(2013年全国卷)己知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e'(cx+d),若曲线y=fix)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2(I)求d,b,c,d的值(II)若兀2—2时，./(x)WRg/(x)

2、,求R的取值范围。4(2013年全国卷2)已知函数f(x)=ex-ln(x+m)(I)设x=0是的极值点，求®并讨论心丿的单调性;(II)当加W2时，证明丿＞0[2014•新课标全国卷I]设函数J[x)=acx]nx+—~,

3、11

4、线y=/(x)在点(1,川))处的切线方程为y=e(兀一1)+2.⑴求a,b；⑵证明：1.,解：(l)f(x)=ex+e'x-2^0,当且仅当兀=0时,等号成立，所以/U)在(一8,+8)上单调递增.(1)g(x)=fi2x)一4/VW=e2^—_4/?(ev-e_x)+(8b—4)x,gf(x)=2[e2j+e_lt-2/?(ev+e"A

5、)+(4/?-2)J=2(c'+ex—2)(e、+eA—2b+2).(i)当bW2时，0(x)MO,等号仅当x=0时成立，所以g⑴在(一8,+8)上单调递增.而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0.(ii)当b>2吋，若兀满足2

6、—4^+6hi2>0,In2>44^~因此，当a=—?时，x轴为曲线y=代

7、兀)的切线(II)当xg(1,4-00)时，g(x)二-x<0,从而h(x)二min{/(兀),g(x)}一专则/⑴=a+

8、>0/(1)=g(l)}=g(l)=0,故x=1⑴的零点；若a<-寸，则f⑴<0,h(l)=min{/(l),g(l)}=/(l)v0,故兀二1不是加兀的零点当xw(0,l)时，g(x)=-lnx>0.^T以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数(i)若a<-3或a»0,则F(x)=3x2+a在(1,0)无零点,故f(x)在(0,1)单调f(0)=丄,/(1加+丄,所以当泊-3

9、时，f(x)在(0,1)有一个零点；当a'O时f(x)在(1,0)没有零点>0.6928；当方=于+111寸，ln(b-1+yjb2-2b)=lnV2,3/血)=一厂2迈+(3y[2+2)ln2<0,18+V2In2<28v<0.6934.2,解:(I)(II)所以In2的近似值为0.693.设曲线y=f(x)与x轴相切于点(xo,0)W(x0)=0?/(xo)=0B卩Xq+ax()+—=03%q+a=013解得x0-9a=-~(“)若-3vqvO,则f(Q在(0J-

10、)单调递减，在单调递增，故在(0,1)中当兀=7^?吋，/O)取得最小值，最小值为f(J—

11、)=©W

12、(a/--)>0-即一-<6/<0,/(x)S(0,1)无零点;V34②若f(J¥)二°，即a二-扌则f(Ji)在(0,1)有唯一零点③若门打)",即-3JV弓由于几0)冷/(1)十討v弓时，/(对在(0,1)有两个零点;当-3〈泊-丄时，f⑴在(0,1)有一个零点.4综上，当3S35a>--或a<.-时,h(x)有一个零点；当a=-一或a=-一时，h(x)有两个零点444453当时，h(对有三个零点.443.【答案】(1)山已知得/(0)-2,(0)=2,/1(0)=4,g1(0)=4.rfljF(x)=2x+a,gi(x)=J(€x+〃+c),故b=2,d=2,a

13、=4,d+c=4从而d=4,b=2,c=2,d=2(2)令F(x)=焙(兀)一于(兀),则F'(x)=(辰*_1)(2兀+4),由题设可得F(0)A0,故k>,令F(x)=0得兀}=-k,x2--2,(1)若15£<才，则一2<£<0,从而当xe(-2,xl)时，F(%)<0,当xe(x,,+oc)时F'(x)>0,即F(x),在(―2,+oo)上最小值为F(xJ=2兀］+2_兀］2一4x}-2=-x}(西+2)>0,此时f{x)^kg(x)恒成立;(2)若k=eF(x)=(eA+2-l)(2x+4)>0,,故F(x)在(―2,+oo)上单调