2018版高中数学北师大版必修五学案：第三章+3．2 基本不等式与最大（小）值

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1、3.2基本不等式与最大(小)值【学习目标】1.熟练掌握基本不等式及变形的应用2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.IT问题导学知识点一基本不等式及变形思考使用基本不等式证明：行W価(°>0,方>0),并说明什么时候等号成立.~+tab梳理以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件.当b>0时，有a+b:当且仅当时，以上三个等号同时成立•知识点二用基本不等式求最值思考因为/+1鼻加，当且仅当兀=1时取等号.所以当时，(x2+l)min=2.以上说法对吗？为什么？梳理基本不

2、等式求最值的注意事项(l)x,y必须是:⑵求积xy的最大值时，应看和x+y是否为;求和x+y的最小值时，应看积小是否为;(3)等号成立的条件是否满足.使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值.如杲都不是定值，可能出错.题型探究类型一基本不等式与最值4例1(1)若Q0，求函数『=兀+：的最小值，并求此时兀的值;3⑵设02,求x+—^的最小值；19⑷已知y>0,且~+-=1,求x+y的最小值.xy•12跟踪训练1(1)已知x>0,求J(x)=—+3x的最小值；⑵己知*3,求yu）=

3、石牙+兀的最大值；（3）设x>0,y>0,且2x+Sy=xy,求x+y的最小值.类型二基本不等式在实际问题中的应用命题角度1几何问题的最值例2（1）用篱笆围一个面积为100n?的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）—段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？跟踪训练2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元池壁每1m2的造价为120元问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？命题

4、角度2生活中的最优化问题引申探究若受车辆限制，该厂最少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？例3某食品厂定期购买而粉，已知该厂每天需用而粉6吨，每吨面粉的价格为180（）元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？跟踪训练3一批货物随17列货车从A市以"千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于（羽2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要小吋.当堂训练气x—

5、4xI51.已知&寺则血）=2人一4、有（）A.最大值号B.最小值#C.最大值1D.最小值12.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2,形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（）A.6.5mB.6.8mC.7mD・7.2miik3.设Q0,b>0,且不等式扌+扌+命$0恒成立，则实数R的最小值等于（）A.0B・4C.-4D.-21.已知0

6、，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②"二定”——“和”或"积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y=x+^.(P>0)的•/V单调性求得函数的最值.2.求解应用题

7、的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.答案精析问题导学知识点一思考/?>0,・・・知*22/舟>0,•1•T丄1*2h+bnii即厂]Wy[^(a>0,b>0),当且仅当方=万，即a=b时，等号成立.a+ba梳理WWWa=b知识点二思考错.显然(x2+l)min=l.<+l$2x,当且仅当x=l时取等号.仅说明抛物线y=x2+1恒在直线y=2x上方，仅在兀=1时有公共点.梳理(1)正数(2)定值定值题型探究41~4例1解⑴当x>0时，x+~>2x•匚=4,当且仅当兀=£,即7=4,x=2时取等号.•A4•:

8、函数y=x+~(x>0)在x=2时取得最小值4.(2)V0

9、,・・・3-2x>0,/•y—4x(3—2x)=2[2x(3—2x)]3当且仅当2兀=3—2%,即时，等号成立.