资源描述：
《2018版高中数学苏教版选修2-1学案：312+共面向量定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.1.2共面向量定理［学习目标］1.了解共面向量等概念2理解空间向量共面的充要条件.产知识梳理自主学习知识点一共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.知识点二共面向量定理如果两个向量4,方不共线，那么向量卩与向量4,b共面的充要条件是存在有序实数组(X，7)，使得p=xa+ybf即向量p可以由两个不共线的向量a,方线性表示.知识点三空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O,存在实数X、八z使得鬲-~zOD>且兀、y、z满足x+y+z=l,则力、B、C、Z)共面.思考1.空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？
2、答案一定共面，反之不成立.2.空间共面向量定理与平面向量基本泄理有何关系？答案空间共面向量定理屮，当向量a,b是平面向量时，即为平面向量基本定理.畫点突破尹题型探究题型一应用共面向量定理证明点共面例1已知力、B、C三点不共线，平^ABC外的一点M满足加=^OA+^OB+^OC.(1)判断滋、MB.彘三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.解⑴••⑥+況+疋=3筋，：.OA-dM={OM-OB)+{OM-OC).:.MA=BM+UA=-MB~MC.又厉与彘不共线.・•・向量祐、MB.蔵:共面.(2)V向量荡、MB.彘共面且具有公共起
3、点M,・・・M、A.B、C共面.即点M在平面昇3C内.反思与感悟利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面.跟踪训练1已知两个非零向量引、e2不共线，如果AB=e+e2>AC=2el+8e2fAD=3e—3©，求证：力、B、C、D共面.证明*：AD+AC=5e}+5e2=5AB,・••腐=*（久b+花）=坏）+扼，又応与花不共线.・•・乔、AD.花共面，又它们有一个公共起点4••AB、C、D四点共面.题型二应用共面向量定理证明线面平行C例2如图，在底面为正三
4、角形的斜棱柱屮，D为力C的中点，求证：ABX//平面CBD.证明记乔=a,AC=b,AAi=cf则AB[=a+c,DB=AB~AD=a—尹z5ci=5c+cci=
5、^+c,所以DB+DCi=a+c=AB},又丽与疋】不共线,所以侖1，DB.疋1共面.又由于力耳不在平面GBD内，所以ABJ平面C、BD.反思与感悟在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化•要熟悉其证明过程和证明步骤.跟踪训练2如图所示，已知斜三棱柱4BC久BG，设石=a,AC=b,AA{=c,在面对角线/C]上和棱BC上分别取点M、N,使花=kACy,BN=kBC
6、（O^^l）.求证：MN〃平面证明AM=k'AC=k(AA+AC)=kb+kc,又9：AN=AB+BN=a+kBC=a+k(b-a)=(一k)a+kb,:.MN=AN-AM=(~k)a+kb-kb~kc=(1—k)a—kc.又a与c不共线.MN与向量a,c是共面向量.又MV不在平面ABByAy内，:.MN〃平面ABBXA.题型三向量共线、共面的综合应用例3如图所示，已知四边形是平行四边形，点"是肋CD所在平面外的一点，连结R4,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为△刊B,、PBC,HPCD,△PD4的重心.试用向量方法证明E,
7、F,G,H四点共面•解分别连结PE,PF,PG,PH并延长，交对边于点M,N,Q,R,连结MN,NQ,QR,RM.・・・E,F,G,H分别是所在三角形的重心，・・・M,N,Q,R是所在边的中点，且庞=
8、砌，PF=
9、mPG=
10、P2,PH=^PR.由题意知四边形MNQR是平行四边形,:.MQ=MN+MR=(PN-PM)+(PR一PM)3~►―►3~►―►3~►―►=^(PF-PE)+^PH~PE)=^EF+EH).:.EG=EF+EH,由共面向量定理知，E,F,G,H四点共面.反思与感悟利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关
11、键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.足艮踪i川练3己知0、A.B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点（如图所示），并且旋0F=k0B,0H=k0D,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF.求证：（1）/、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；(2)AC//EG；(1)OG=kOC.证明（1）由AC=AD+mAByEG=EH+mEF^A.B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面.(2Y：EG=EH+mEF=OH-OE+tn(OF-OE)=k(0b-0A)+k
12、m(0B-0A)=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC,:.AC//EG,⑶由⑵知冼=荒_EO=kAC-kAb=k(AC-Ab)=kOC,：.OG=kOC尹
