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《2018版高中数学苏教版选修2-1学案：321直线的方向向量与平面的法向量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第3章空间向ht与立体几何3.2空间向量的应用直线的方向向量与平面的法向量［学习目标］1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量.产知识梳理自主学习知识点一直线的方向向量直线I上的向量e(e^O)以及与e共线的非零向量叫做直线I的方向向量.知识点二平面的法向量如果表示非零向量〃的有向线段所在直线垂直于平面a,那么称向量〃垂直于平而弘记作/I丄a,此时，我们把向量n叫做平面a的法向量.思考1.平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答案相互平行.2.一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？答案不惟一，它们相互平行，但不一定相等.申点突破题型一
2、直线的方向向量及其应用例1设直线？1的方向向量为0=(1,2,-2),直线厶的方向向量为&=(-2,3,肋，若厶丄"，则tn=.答案2解析由题意，得a丄〃，所以a力=(1,2,—2)-(—2,3,加)=—2+6—2加=4—2加=0,所以m=2.反思与感悟若厶丄b则厶与的方向向量垂直；若WU则厶与“的方向向量平行.跟踪训练1若直线Z］,<2的方向向量分别是a=(l，-3,-1),方=(&2,2),则厶与的位置关系是答案垂直解析因为a•方=(1,—3,—1)•(&2,2)=8—6—2=0,所以a丄b,从而/】丄厶.题型二求平面的法向量例2如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面是直角梯形，
3、AABC=90°,S/丄底面ABCD,且S4=AB=BC=[,AD=j,建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量.解如图，以/为原点，以40,AB,/S分别为x,y,2轴的正方向建立空间直角坐标系，则力(0,0,0),D(*,0,0),C(l,l,0),S(0,0,l),则5c=(
4、,1,0),DS=(—y0,1).易知向量AD=(^,0,0)是平面SMB的一个法向量.即S尸一芬,设n=(x,y,2)为平面SDC的法向量，取兀=2,则y=—1,z=1,・・・平面SDC的一个法向量为(2,-1,1).反思与感悟求平面法向量的方法与步骤:(1)求平面/BC的法向量时
5、，要选取平面内两不共线向量，如力d,AB;(2)设平面的法向量为n=(x,ytz);h-AC=09并求解;(3)联立方程组］_乔=0,(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.跟踪训练2已知M(l,0,l),5(0,1,1),C(1丄0),求平Ifij"ABC的一个法向量.解设平面ABC的法向量为n=(xfyfz),由题意知乔=(一1丄0),荒=(丄0,-1).nLBC,ivAB=—x+y=0,nBC=x—z=0,x=y,解得
6、令x=l,则y=z=.x=z.・・・平面ABC的一个法向量为兀=(1,1,1).题
7、型三证明平面的法向量例3在正方体4BCD佔CD中，E,F分别是B51，CQ的中点.求证：命是平面的法向量.证明如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),D
8、(0,0,l),力(1,0,0),所以乔=(一1,0,0),z5>=(o,I，-1),-►—►I所以/DZ)
9、F=(—l,0,0)・(0,-1)=0,庞.5>=(o,i,*).(o,I，-i)=o,所以25丄庞丄又ADHAE=Af所以万A丄平面ADE,从而恥是平面的法向量.反思与感悟用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想
10、方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.跟踪训练3已知正方体4BCD4B、CD的棱长为1,在BC、DD｝上是否存在点E、F,使祗是平^ABF的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在，请说明理由・解建立如图所示的空间直角坐标系，则力(1,0,1),3(1,1,1),耳(1,1,0),设F(0,0,h),E(m,l,l),则乔=(0,1,0),雄=(〃?一1,0,1),荊=(1,0,1-方)・•・•忌貢E=0,:.AB丄5E.若祗是平面ABF的法向量，则亚•劳=加一1+1—/?=〃一/?=(),:.h=m,即E、尸满足D、F=CE时，祗•是平
11、面的法向量.故存在，且E、F满足D、F=CE.易错点利用向量法判断直线与平面平行例4己知m是平面a的一个法向量,a是直线/的一个方向向量，若”=(3丄2),4=(—2,2,2),则/与g的位置关系是.错解因为巾=(3,1,2)・(一2,2,2)=3X(—2)+lX2+2X2=0,所以丄a,所以/〃久错因分析错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别.实际上，本例中由向量uA_a可得/C«或I//a.正解因为以=(3,1,2)・(一2,2,2
