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《高中数学苏教版选修2-1学案：3.2.1直线的方向向量与平面的法向量word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量1．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)2．会用待定系数法求平面的法向量．(难点)3．平面法向量的设法．(易错点)[基础·初探]教材整理1 直线的方向向量阅读教材P99上半部分，完成下列问题．我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝________.【解析】 ＝(－1,0,1)，由题意知，a∥，则存在实数λ，使a＝λ，即(2,0，
2、x)＝λ(－1,0,1)，即∴λ＝－2，x＝－2.【答案】 －2教材整理2 平面的法向量阅读教材P99中间部分，完成下列问题． 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．1．平面α内一条直线l的方向向量为a＝(2,3，－1)，平面α的法向量为n＝(－1,1，m)，则m＝________.【解析】 易知a·n＝0，即－2＋3－m＝0，解得m＝1.【答案】 12．已知A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的法向量为____
3、____.【导学号：09390079】【解析】 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝1，z＝0，即n＝(1,1,0)，则平面ABC的一个法向量为(1,1,0)．【答案】 (1,1,0)(答案不惟一)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型]直线的方向向量及其应用 (1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________
4、.(2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为________，点P的坐标为________．【精彩点拨】 (1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)即是直线AB的一个方向向量，利用＝求点P的坐标．【解析】 (1)由l1∥l2可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以＝＝，解得x＝－14，y＝6.(2)＝(0,6,2)是直线AB的一个方向向量．由AP∶PB＝3∶2，得＝.设P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝(0,6
5、,2)，即x－2＝0，y＝，z－1＝2·，解得x＝2，y＝，z＝，所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2)，点P的坐标为.【答案】 (1)－14 6 (2)(0,6,2) 1．应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．求平面的法向量 如图321，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SBA与平面SCD的法向量．图321【精彩点拨】 因为与平面垂直的向量为平面的法
6、向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n，再利用待定系数法求解．【自主解答】 ∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，＝是平面SBA的法向量，设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，有n⊥，n⊥，则n·＝(1，λ，u)·＝＋λ＝0，∴λ＝－.n·＝(1，λ，u)·＝－＋u＝0，∴u＝，∴n＝.1．利用待定系数法求平面法向量的步骤2．求平面法向量的
7、三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.[再练一题]1．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量．【解】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则A(1,
8、0,0)，M，N.∴＝，＝.设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，∴令y＝2，∴x＝－3，z＝－4，∴n＝(－3,2，－4).证明平面的法向量 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．图322求证：是平面ADE的法向量．【精彩
