相似三角形应用专题(二)动态几何2

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1、相似三角形应用专题(二)动态几何中的相似三角形例1、如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,AD=3,DC=5,BC=10,梯形的高为4.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同吋从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点Q运动.设运动的吋间为f(秒).(1)当MN//AB时，求f的值；(2)试探究：r为何值时，5MNC为直角三角形.变式练习1：如图所示，在AABC中，BA二BC二20cm,AC二30cm,点卩从人点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以

2、每秒3cm的速度向A点运动，S1s设运动时间为X。(1)当X为何值时，PQ〃BC?(2)当亠2=—，求42的值；(3)QAABCQQAABC△APQ能否与ACQB相似？若能,求出AP的长;若不能，请说明理由。A变式练习2：如图，已知直线/的函数表达式为y=~x+8,且/与兀轴，y轴分别交于4B两点，动点(?从3点开始在线段％上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从&点开始在线段40上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点0,P移动的时间为/秒.(1)求出点A,B的坐标；(2)当/为何值时，△APQ与相似？(3)

3、求出(2)中当ZFQ与ZUOB相似时，线段PQ所在直线的函数表达式.例2、在图15-1至图15-3H',直线M/V-U线段4〃相交于点O,Zl=Z2=45°.(1)如图15-1,若AO=OB,请写出40与BD的数量关系和位置关系；(2)将图15-1中的MV绕点O顺时针旋转得到图15-2,其中A0=0B.求证：AC二BD,AC丄BD；(3)将图15-2中的03拉长为力。的k倍得到图15・3,求型的值.N图15-3AC并任选取一给予证明.变式练习1：已知在RtAABC中，ZABC=90°9ZA=30°9点P在AC上，且ZMPN

4、=90当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时(如图1),过点P作PE丄43于点E,PF丄BCT点、F,可证t/PMEsi/PNF,得茁PN=£pM.(不需证明)CN第26題图当PC=y[2mf点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PV、PMZ间的数量关系，变式练习2（备用）：如图1,在同一平而内，将两个全等的等腰直角三角形ABC^WAFG摆放在一起，力为公共顶点，ZBAC二ZAG&90。,它们的斜边长为2,若心％固定不动，NAFG绕点A旋转，AF.力与边滋的交点

5、分别为D、F（点D不与点B重合，点E不与点C車合），设CD=v.（1）请在图中找出两对和似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.（3）以的斜边比所在的直线为x轴，边上的高所在的直线为y轴，建立平而直角坐标系（如图12）.在边牝上找一点〃，使BD=CE,求出〃点的坐标，并通过计算验证BD1+CE1=/）E2.（4）在旋转过程屮，（3）中的等量关系BD1+CE2讹是否始终成立，若成立，请证明，若不成立,请说明理由.F例3、如图1,Rt/PMN中，ZP=90°,PM

6、=PN,MN=&cm,矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm,C点和M点重合，BC和MN在一条直线上.令R仏PMN不动,矩形ABCD沿MN所在真线向右以毎秒1cm的速度移动(如图2),直到(？点与N点亜合为止.设移动兀秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为＞'cm2.求y与兀之I'可的函数关系式.变式练习1：如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC,ZA=45°,AB=10cm,CD=4cm・等腰直角三和形PMN的斜边MN=10cm,A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直介三角形PM

7、N沿所在直线以lcm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止.(1)等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状rh形变化为形；(2)设当等腰直角三角形PMN移动x(s)时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD^叠部分的而积为＞W)，求与兀之间的函数关系式;(3)当兀=4(s)时，求等腰宜介三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.B例4(备用)：如图，已知ZvIBC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同吋从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是lcm/s,点Q运动

8、的速度是2cm/s,当点0到达点C时，P、0两点都停止运动，设运动时间为/(s),解答下列问题：(1)当(=2时，判断△3P0的形状，并说明理

9、+1；(2)设的面积为Sfem2),求S与f的函数关系式；(3)作QR//BA交AC于点连结PR,当f为何值时，ZPRsPRQ2ARC变式练习1(备用)：如图