专题2 相似三角形的判定及应用.doc

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1、专题2相似三角形的判定及应用（一）一个三角形与另一个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似．这是判定三角形相似的重要方法之一．由此，即知（1）任何两个等边三角形都相似．（2）任何顶角相等的两个等腰三角形相似．（3）三角形的中位线截原三角形得到的小三角形与原三角形相似．（4）一个锐角相等的两个直角三角形相似．例1如图，设P是等边△ABC的边BC上任一点，连AP，作AP的中垂线交AB、AC于M、N．证明：BP·PC＝BM·CN．（1994年安徽省竞赛题）例2如图，△ABC和△A’B’C’的各边交成六边形DEFGHK，且EF∥KH，GH

2、∥DE，FG∥KD，KH－EF＝FG—KD＝DE—OH>0．求证：△ABC，△A’B’C’均为等边三角形．例3如图，在锐角△ABC中，D、E、F分别是三条高AD、BE、CF的垂足，连DF、EF、FD，求证：△DEC∽△AEF∽△DBF．例4在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，P为边BC上一点，且PA=4，求PB．PC的值．例5如图，在△ABC的边AB上取一点D，连CD，过D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥CD交AB于F，求证：AB≥4DF．习题11．设△ABC的三边为，求证：（1）若∠A＝2∠B，则；（2）若∠A＝3∠B，则．2．在

3、△ABC中，∠A＝600，∠B＝800．求证：AC2－AB2＝AB·AC．3．在△ABC中，∠C＝3∠A，．求．4．等腰△ABC的顶角∠A＝1080，BC＝m，AB＝AC＝n，记，，．试排出的大小关系．5．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB＋BD＝25，AC－CD＝4，求AD．6．已知E五边形的周长等于，所有对角线的长度之和等于，求的值．7．设O是△ABC内任一点，直线AO、BO、CO分别与三边相交于P、Q、R．令BC＝，CA＝，AB＝，若，求证：OP＋OQ＋OR<．专题3相似三角形的判定及应用（二）一个三角形的两条边与另一

4、个三角形的两条边对应成比例，且对应夹角相等，则这两个三角形相似．这是判定三角形相似的又一重要方法．例1如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边上一点，F是线段AD上一点，且∠BED＝2∠CED＝∠BAC．求证：BD＝2CD．（1992年全国联赛题，同§2．2中例2）例2如图，在△ABC外作△BPC、△CQA、△ARB，使∠PBC＝∠CAQ＝450，∠BCP＝∠QCA＝300，∠ABR＝∠BAR＝150．求证：△POR是等腰直角三角形．（1991年四川省竞赛题）例3如图，已知△ABC满足∠ACB＝2∠ABC．设D是BC边上一点，且CD＝

5、2BD．延长线段AD至E，使AD＝DE．证明：∠ECB＋1800＝2∠EBC．例4锐角△ABC的三条高AAl、BBl、CCl的中点分别为A2、B2、C2．试求∠B2AlC2＋∠C2B1A2＋∠A2C1B2．（第22届全俄奥林匹克题）例5在△ABC中，∠BAC＝600，∠ACB＝450．（1）求：这个三角形的三边之比AB：BC：CA；（2）设P为△ABC内一点，且，，，求∠APB、∠BPC、∠CPA．（1990年武汉、重庆、广州、洛阳、福州联赛题）习题21．等腰三角形ABC中，∠A＝1000，AB＝AC，角B的平分线交AC于D．求证：B

6、D＋AD＝BC．（第23届加拿大奥林匹克训练题）2．在△ABC中，若∠A＝2∠B，边AC＝4，AB＝5，求BC．3．如图，△ABC和△A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D．求证：AA1⊥CC1．（2000年重庆市竞赛题）4．如图，大正方形ABCD及小正方形AEFG共顶点A，连BE、CF、DG，求BE：CF：DG．5．在给定的不等边三角形A1A2A3中，用表示顶点关于由顶点引出的角平分线的对称点，其中，求证：直线B12B21，B13B31与B23B32相互平行．（1982年保加利亚奥林匹克题）专题3相似三角形的判定及应用

7、（三）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似．这也是判定三角形相似的两个重要方法．例1如图，P是△ABC内一点，过P分别作直线平行于△ABC的各边，所成的小三角形、和的面积分别是4、9和49．求△ABC的面积．（第2届美国邀请赛题）例2如图，过三角形内任何一点，引三条直线分别平行于它的边，它们把边分割成线段．求证：．（第24届全苏奥林匹克题）例3如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD为∠BAC的平分线，DE∥CA，AD、CE相交于点O，

8、令△AOC、△DOE、△BDE的面积分别为S1、S2、S3，求证：，其中、分别为边AC和AB的长．（1991年安庆市竞赛题）例4如图，在△ABC中，S△COE＝S△DOF，且．求证：（1）；（2）S△AEF：S△EOF＝