解答题重难点题型(八) 第23题二次函数综合题

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1、解答题重难点题型(八)　第23题二次函数综合题　　在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设点P的横坐标是m.(1)求这个二次函数的解析式；(2)过点P作PM⊥x轴于点M，交AC于点Q，求线段PQ的最大值；(3)在(2)的条件下，过点P作PH⊥AC于点H，求△PHQ周长的最大值；(4)是否存在点P，使△APC的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(5)在平面直角坐标系中，是否

2、存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；(6)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E.是否存在点Q，使以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；(7)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．(1)【思路点拨】　要求抛物线y＝ax2＋bx＋2的解析式，该解析式中有两个未知数，故需要知

3、道经过该抛物线上的两个点的坐标，结合题意，点A和点B是该抛物线上两点，将这两个点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．【自主解答】　解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2过点A(－3，0)，B(1，0)，∴解得∴二次函数的解析式为y＝－x2－x＋2.(2)【思路点拨】　设出点P的坐标，并用含有字母的代数式表示出PQ的长度，结合字母的取值范围，求出PQ的最大值．【自主解答】　解：如图1，由题知，C(0，2)，A(－3，0)，图1∴可得直线AC的解析式为y＝x＋2.设点P(m，－m2－m＋2)．∵PQ

4、⊥x轴且点Q在直线y＝x＋2上，∴Q(m，m＋2)．∴PQ＝(－m2－m＋2)－(m＋2)＝－m2－2m＝－(m＋)2＋.∴当m＝－时，PQ取得最大值，最大值为.　　(3)【思路点拨】　在Rt△PHQ中，将PH，QH的边长用PQ的长度表示出来，从而要求△PHQ周长的最大值转化为即求PQ长度的最大值．【自主解答】　解：如图2，由题知AO＝3，CO＝2，∴AC＝.图2∵PH⊥AC，PQ∥y轴，∴∠QPH＝∠CAO.则sin∠QPH＝sin∠CAO＝＝，cos∠QPH＝cos∠CAO＝＝，　　∴C△PHQ＝

5、PQ＋QH＋PH＝PQ＋PQsin∠QPH＋PQcos∠QPH＝(1＋sin∠QPH＋cos∠QPH)PQ.,　由(2)知，PQ＝－m2－2m，则C△PHQ＝(1＋sin∠QPH＋cos∠QPH)PQ＝(1＋＋)·(－m2－2m)＝·＝－(m＋)2＋.∵<0，且－3

6、，－m2－m＋2)．方法一：由(2)知PQ＝－m2－2m，∴S△ACP＝S△PQC＋S△PQA＝·PQ·(xC－xP)＋·PQ·(xP－xA)＝·PQ·(xC－xA)＝·(－m2－2m)·[0－(－3)]＝－m2－3m＝－(m＋)2＋.图3∵－1<0，－3

7、△PAC＝S△PAO＋S△PCO－S△ACO＝AO·PM＋CO·PN－AO·CO＝×3·(－m2－m＋2)＋×2·(－m)－×3×2＝－m2－3m＝－(m＋)2＋.∵a＝－1＜0，－3

8、3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．图4过点Q1作Q1D⊥y轴于点D，∵∠BCQ1＝90°，∴∠Q1CD＋∠OCB＝90°.又∵在直角△OBC中，∠OCB＋∠CBO＝90°，∴∠Q1CD＝∠CBO.又∵Q1C＝BC，∠Q1DC＝∠BOC，∴△Q1CD≌△CBO(AAS)．∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，∴OD＝OC＋CD＝3.∴Q1(2，3)．同理求得Q2(3，1)，Q3(－1，－1)，Q4(－2，1)．∴存在点Q，使△BCQ是以BC为