解答题重难点题型(七)-第22题类比、拓展探究题

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1、(2016-河南722・10分)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b.填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为.（用含a，b的式子表示）AE⑵应用点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值.⑶拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，P

2、M=PB‘ZBPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.备用图【思路点拨】（1）当点A在线段CB延长线上时，AC长度最大；最大值是AB与BC长度之和；⑵①图中与BE相等的线段是CD.运用三角形全等的判定方法即可证明；②因为BE=CD，所以求BE的最大值即求CD的最大值，根据（1）中结论可知CD的最大值为BD与CB的长度之和；（3）通过（2）的学习可知如图4，需要构造△BPN^AMPA，则BN=AM，由（1）得当点N在BA的延长线上时，NB有最大值（如图5），易得AN=2^2，所以AM=NB

3、=3+2jl过点P作PE丄x轴于点E‘PE=EA=V2，从所以P（2—迈，y[2）.图4图5答:题:示:范解：(1)CB的延长线上a+b2分(2)①CD=BE，理由如下：VAABD与ZACE是等边三角形，・・・AD=AB，AC=AE，ZBAD=ZCAE=60°.・・・ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC，即ZCAD=ZEAB,5分fAD=AB，在厶CAD耳、EAB中，＜ZCAD=ZEAB，Iac=ae，•••△CAD9ZEAB(SAV).・・・CD=BE.6分②BE长的最大值是4.8分(3)AM的最大

4、值3+2承，点P的坐标为(2-^2，迈).10分【解法提示】如图4，连接BM，・・•将AAPM绕着点P顺时针旋转90°得到ArBN，连接AN，则AAPN是等腰直角三角形，・・・PN=PA=2，BN=AM・VA的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，・・・OA=2，OB=5.Z.AB=3.・・・线段AM长的最大值=线段BN长的最大值.・••当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN.•・・AN=V^AP=2迈，・••最大值为2迈+3.如图5，过P作PE丄x轴于点E，VAAPE是等腰直

5、角三角形，・・・PE=AE=边.・•・OE=OA—AE=2-血・・・P(2—也，回例2（2015-河南722・10分）如图1，在TCrAABC屮‘ZB=90°，BC=2AB=8，点D，E分別是边BC‘AC的中点，连接DE.WAEDC绕点C按顺吋针方向旋转，记旋转角为a.⑴问题发现①当a=0°时'器=誓;②当a=180°吋，需=¥；(2)拓展探究An试判断：当0。«<360°时，需的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明;(3)问题解决当AEDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长.【思路点拨】(

6、1)①根据题意可知DE是AABC的中位线，根据中位线的性质和勾股定理求得AE的长度即可求解;②根据旋转180°，画出图形，结合①，分别得到AC，CE，BC和CD的长即可求解;(2)由(1)可知CE_CDCA=CB旋转的性质得到CE_CDCA=CB任然成立、运用两边对应成比例，夹角相等求得、AACE^ABCD、利用相似三角形的性质'求得舗的值.(3)当AEDC旋转至A，D，E三点共线时分两种情况讨论，即边DE在BC上方和在BC下方，再针对每一种情况分类讨论计算即可.【自主解答】(2)证明：在图1中，TDE是A

7、ABC的中位线，・・・DE〃AB，・・・昏=需，ZEDC=ZB=90°.VAEDC在旋转过程中形状大小不变‘・CE_CD••C^=CB仍然成立.XVZACE=ZBCD，•••△ACEs&CD.・AEAC**BD_BC*在/?zAABC中‘AC=^AB2+BC2=^42+82=4a/5‘・AC_4V5_V5.AE_V5・・BC_8_2'••而_2•AF・••器的大小不变.⑶4远或'2去.提示：如图3，当AEDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，・・・BD=AC=4、G；如图4'当AED

8、C在BC下方，且A，E，D三点共线时，AADC为直角三角形‘由勾股定理可求得AD=^/AC2-CD2=8，/.AE=AD—DE=6，根据器=爭可求得BD=呂直.图4针对训练1•（2017-河南722・10分）如图1，在/?rAABC中‘ZA=90°‘AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点.图1(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是PM=P