高数下要点整理

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1、第七章向量代数与空间解析几何第一节大纲：向量：有大小、方向的量。向量相等：大小、方向单位向量、零向量向量的坐标表达式及其运算1)向量的加法、减法满足：交换律、结合律。平行四边形、三角形法。2）向量的数乘满足：结合律、分配律3)两向量平行的充要条件：4)空间直角坐标系(右手坐标系)5)利用坐标作向量的线性运算1）向量的坐标向量表示2)对应坐标运算。6）向量的模、方向角投影知识点a）向量的模与两点间的距离公式b)方向角与方向余弦c)向量在轴上的投影①②③向量的坐标表示方式：1）向量积性质：应用例、解：∴(2)向量积右手定则即注意应用（i）（ii）（iii）如即利用向量积求出同时垂直两个已知矢

2、量的矢量。第二节、平面与空间直线大纲直线与平面的表达式点线之间的关系（距离）线线间的关系（距离、平行、垂直角α）线面的关系（距离、平行、垂直角α）面面的关系（距离、平行、垂直角α）知识点已知平面p过点M0（x0、y0、z0），为p的法矢量。1>点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=02>一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全为零。3>截距式：，a，b，分别为平面在x轴、y轴、z轴上的截距。⊥⊥∥∥点M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为例、求通过点P（2,-1,-1），Q（1,2,3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。解：

3、，已知平面的法矢量取所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0即：9x-y+3z-16=0空间直线及其方程<1>空间直线的一般方程L：<2>点向式（对称式）直线过点M0(x0、y0、z0)，为L方向向量则L：<3>参数式L：t为参数L1∥L2∥L1⊥L2⊥直线与平面关系<1>L∥π⊥即<2>L⊥π∥<1>点P到直线L的距离，L的方向向量，M0为L上一点例、设平面方程为，过点，求该平面解由得®点代入平面，得：所求平面<4>平面束方程直线L：则为过直线L的除平面外的平面束方程第三节曲面与空间曲线常用二次曲面的方程及其图形1、球面：设是球心，R是半径，是球面上任一点，则，即2、椭球

4、面3、旋转曲面设L是x0z平面上一条曲线，L绕z旋转一周所得旋转曲面：得例1、称为旋转抛物面旋转双曲面：，(单)4、椭圆抛物面5、单叶双曲面6、双叶双曲面7、二次锥面圆锥面8、柱面抛物柱面椭圆柱面圆柱面空间曲线的方程及其在坐标面上的投影一般式曲线在三坐标面上投影方程在x0y面上投影曲线方程：在中消去z，再与z=0联立。其他坐标平面上的投影曲线方程求法类似。第八章多元函数微分及其应用第一节多元函数的极限与连续1、平面点集：（1）P0的邻域：平面上以点P0为中心，为半径的圆的内部点的全体，即平面点集：（2）内点：设E为平面上的一个点集，如果点P及其某一邻域中的点都属于E，则称点P为集合E的内

5、点。（3）外点：设E为平面上的一个点集，如果点P及其某一邻域中的点都不属于E，则称点P为集合E的外点。（4）边界点：设E为平面上的一个点集，若点Q的任意一个邻域内，既有点集E的点，又有不属于点集E的点，则称点Q为平面E的边界点。平面E的全部边界点所组成的集合称为E的边界。（5）聚点：如果P点的任意去心领域U(P)均满足U（P）∩E≠∅，则称E为聚点。2、多元函数的极限极限的运算：3、多元函数的连续性第二节、多元函数的导数和微分1、偏导数的概念注意点：（1）偏导数是一个整体记号，不能拆分；（2）求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；2、高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导

6、数.（纯偏导）（混合偏导）3、全微分概念：多元函数连续、可导、可微的关系（很重要）第三节、多元函数的求导1、复合函数求导（三种情况）口诀：分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导。2、全微分形式不变性3、隐函数求导法（1）F（x,y）=0;(2)F(x,y,z)=0;2、方程组情形（雅克比行列式）第四节、多元函数在微分几何上的应用1、空间曲线的切线与法平面（1）空间曲线，则过点的切线方程和法平面方程分别为　切线方程：　法平面：；（2）空间曲线，则过点的切线方程和法平面方程分别为　切线方程：　法平面：。2、空间曲面的切平面与法线方程（1）空间曲面，则过点的切平面方程和法线方程分别为切线方程：

7、法平面：3、多元函数的极值4、条件极值（拉格朗日乘数法）5、方向向量：（1）二元函数的方向导数　　其中是方向与轴正向所夹的角。（2）三元函数的方向导数　　其中αβγ是方向ｌ分别与ｘ，ｙ，ｚ轴正向所夹的角。第九章重积分第一节二重积分的概念与性质1.1二重积分的概念定义1.1二重积分的存在定理：若在闭区域上连续,则在上的二重积分存在。1.2二重积分的几何意义若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。当≤0时，曲顶柱体位于xOy平