高数试题整理

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1、—判断题1若向量a和b大小相等，方向相同，则a和b相等（√）2零向量与任何向量平行（√）3a×b=0⇔a⊥b(×)4a×b=-b×a(√)5Ax+By+Cz=0表示通过远点的平面（A.B.C不全为零）（√）6Cz+D=0表示平行于xOy面的平面（√）7Ax+D=0表示平行于yOz面的平面（√）8连通的开集称为开区域（√）9一切多元初等函数在定义区域内连续（√）10多元函数在某点各偏导数都存在，在该点一定连续（×）11函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，在该点一定连续（√）12若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上可积（√）13设函数f(x,y)在

2、闭区域D上连续，为D的面积，则至少存在疑点（，）D，使∫∫Df(x,y)d=f(，)(√)14定积分是第二类曲线积分的特例（√）15是一个收敛函数（√）16级数各项乘以非零常数后期收敛性不变（√）17在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数的敛散性（×）18收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和（√）19若加括号弧后的级数发散，则原级数必发散（√）20收敛级数去括弧所成的级数不一定收敛（√）21若级数的一般项不趋于0，则级数必发散（√）22是一个收敛函数（×）23是一个收敛函数（×）24绝对收敛的级数一定收敛（√）25两个幂数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂

3、级数的收敛半径小得多（√）二填空题1在z轴上两点A（-4,1,7）及B（3,5,2）等距离的点2已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3),则AB的单位向量e=3a,b为两非零向量，则a×b=0⇔4平面的一般方程为5过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0的垂直的直线方程为6与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行，且过点(-3,2,5)的直线方程7若点集E的点都是内点，则成E为开集8函数u=ln(+)点M(1,2,-2)出的梯度grad=9是偏导数都为0的点称为驻点10sin(x+y)=211幂级数x-的收敛半径R=1，收敛域为12函数f(x)=展开

4、成x的幂级数为=13f(x)=sinx展开成x的幂数级数sinx=三解答题1已知两点和,计算向量的模。方向余弦和方向角。解：=（-1，1，-）ll==2Cosα=-Cosβ=Cos=-α=β==2设俩向量=计算，并求夹角θ的正弦与余弦解：=1×(-1)+2×1+(-1)×0=-1+2+0=1=sin=......3求过点（1,1,1)且垂直于二平面x-y+z=7和3x+2y-12z+5=0的平面方程解：=（3,2，-12）=所以，平面方程为10(x-1)+15(y-1)+5(z-1)=0即2x+15y+z-6=04设解：5求曲线x=t,y=,z=在点M(1,1,1)处的切

5、线方程和法平面方程解：因为而点(1,1,1)多对应的参数，所以T=(1,2,3)于是切线方程为法平面方程为(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0即x+2y+3z=66求曲线在点M(1,-2,1)处的切线方程与法平面方程解：将所给的方程两边对x求导并移项，得由此得从而T=（1，0，-1）故所求的切线方程为法平面方程为(x-1)+0×(y+2)-(y-1)=0即x-z=07求球面在点(1,2,3)处的切平面及法平面方程解：F(x,y,z)=所以在点（1，2，3）处的此球面的切平面方程为2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0即x+2y+3z-14=0法线方程为即由此可

6、见，法线经过原点（即圆心）8求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者解：设内接三角形各边所对的圆心角为x,y,z,则x+y+z=则他们所对应三个三角形面积分别为9计算解：参考10计算解：11计算解：参考12计算三重积解：参考13解：原式=014解：参考15解：添加辅助线AO原式=AO是弧计算得：原式=16解：添加辅助线AB，利用格林公式原式=17解：原式=18用高斯定理公式计算其中为柱面及平面z=0,z=3所围空间闭区域的整个边界的面的外侧解：参考19讨论级数的收敛性解：当01时级数发散当x=1时级数发散20求幂级数解:改正：（）21将函数f(x)=

7、x+1分别展成的正弦级数与余弦级数22将函数f(x)=x(0