高数(下)要点(含微分方程)——自己整理的

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1、第六章微分方程一、一阶微分方程1、一阶线性方程2、伯努利方程令二、可降阶的高阶方程1．次积分2．不显含令，化为一阶方程。3．不显含自变量令，，化为一阶方程。三、线性微分方程，时称为齐次的，称为非齐次的。1．二阶线性齐次线性方程（1）如果函数与是方程(1)的两个解，则也是(1)的解,其中是任意常数。如果与是方程(1)的两个线性无关的特解,则(是任意常数)是(1)的通解.两个函数与线性无关的充要条件为（常数）2．二阶线性非齐次线性方程设是二阶线性非齐次线性方程的一个特解,是它对应的齐次方程(1)的通解,则是该方程的通解.设与分别是二阶线性非齐次方程与的两个特解。

2、则是的特解。（叠加原理）3.二阶线性常系数齐次方程特征方程，特征根特征方程的根的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根4．二阶线性常系数非齐次方程i)如果,则二阶线性常系数非齐次方程具有形如的特解。其中，是次多项式,也是系数待定的次多项式；依照为特征根的重数而取值.i)如果,则二阶线性常系数非齐次方程的特解可设为其中是系数待定的次多项式,,依照特征根的重数取值.四、欧拉方程二阶欧拉方程，其中为常数.作变换，则有,。原方程变为二阶线性常系数方程。第七章空间解析几何一、1、，其中是与的夹角；2、向量积满足下列运算律：1）反交换律；2）结合律，其中是数量；

3、3）左分配律，右分配律．3、4、若，则称为单位化向量，并有．此时其中是的方向余弦．三、1、旋转面方程yoz平面上的曲线C：绕z轴的旋转面方程为；绕y轴的旋转面方程为．类似可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴的旋转面方程．2、柱面方程以xoy平面上的曲线C：为准线，母线平行于z轴的柱面方程为．同理方程和分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面．3、曲线在坐标面上的投影在空间曲线的方程中，经过同解变形分别消去变量，则可得到在yoz、xoz、xoy平面上的投影曲线，分别为：；；四、1、平面方程1）点法式：过点，法向量的平面方程为，2）一般式：，其中不全为零．3）截距式：4）两

4、个平面之间的关系设两个平面Π1与Π2的法向量依次为和．Π1与Π2的夹角规定为它们法向量的夹角（取锐角）．此时2222222121212121212121

5、

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12、cosCBACBACCBBAAnnnn++×++++=×·=rrrrq2、直线方程1）一般式：将直线表示为两个平面的交线．2）若直线经过点且与方向向量平行，则的方程为i)对称式：．ii)参数式：，．3）两条直线之间的关系设两条直线L1和L2方向向量分别为，L1与L2的夹角规定为它们方向向量的夹角（取锐角）．于是3、直线与平面的关系设直线L的方向向量为，平面Π的法向量为．L与Π的夹角规定为L与它

13、在Π上投影直线的夹角（锐角）．这时．L与Π垂直的充要条件是．L与Π平行的充要条件是xOy图3z五、1、椭圆抛物面：，其中（图3）．例如，等．yzxO图42、椭圆锥面：，其中（图4）．例如，圆锥面．图5zyOabx3、单叶双曲面，其中（图5）．例如．xzOyc-c（图6）4、双叶双曲面，其中（图6）．例如．第八章多元函数的微分学一、1．偏导数对某一个自变量求偏导数，就是将其余的自变量看作常数，对这个变量求一元函数的导数．2．高阶偏导数二元函数的二阶偏导数，或，；，或，；及称为二阶混合偏导数3、全微分二元函数在点处的全微分三元函数的全微分，并有4、可微、可导、连

14、续的关系在多元函数中，可微、可导、连续的关系与一元函数的情况有所不同．在多元函数中1）可微必可导，可导不一定可微；2）可微必连续，连续不一定可微；3）可导不一定连续，连续不一定可导5、复合函数的偏导数假设下列函数都可微，则有复合函数的求导公式（链式法则）：a.若，，，则复合函数的导数为=+；b.若，，，则复合函数的偏导数=+，=+；6、隐函数的偏导数1）方程所确定的隐函数的导数为．2）方程所确定隐函数的偏导数为，．二、1、取得极值的必要条件如果函数在点的两个偏导数都存在，且在该点函数取得极值，则，．可导的极值点必是驻点，但极值点不一定是驻点．2．取得极值的充

15、分条件设在驻点的某个邻域内有二阶的连续偏导数．令,,,，于是有1）如果，则点是函数的极值点．当时，是极大值，当时，是极小值．2）如果，则点不是函数的极值点．3）如果，则函数在点有无极值不能确定，需用其它方法判别．3．条件极值1）求二元函数在约束条件=0下的极值，可以按照如下步骤进行：i)构造拉格朗日函数；ii)解方程组．若是方程组的解，则是该条件极值问题的可疑极值点．三、多元微分学的几何应用1．空间曲线的切线与法平面给定空间曲线，其中的三个函数有连续的导数且导数不同时为零（光滑曲线）．上的点对应的参数为．则曲线在点处的切向量为，此时的切线方程为．曲线在点的法

16、平面方程为2．曲面的切平面与法线给定曲面的方程，函数