高考数学中的绝对值问题

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1、高考数学中的绝对值问题绝对值是高中数学中的一个基本概念,“绝对值问题”历来是高考中经常涉及的问题,可谓常考常新,与函数、导数、数列、不等式证明等知识交汇相结,成为高考的“新宠”。特别是“绝对值”问题为背景与初等函数结合所构成的综合题。由于它们在知识上具有综合性,题型上具有新颖性,解题方法上具有灵法多变,还需要利用数形结合、分类讨论、绝对值不等式的放缩等数学思想,对考生的综合知识能力要就求较高,成为考生之间拉分的重要题型之一。今天只对与函数、不等式结合的绝对值问题的几道例题略作分析,供同学们思考。一、知识储备:(1)绝对值概念、绝对值

2、的非负性、几何意义、绝对值的函数图象等。(2)各类绝对值不等式的解法。(1);(2);(3);(4).(3)绝对值三角不等式:,及其左右两个等号各自成立的条件。二、例题:例1、已知函数,,当时,有。(1)证明:(2)证明:当时,,例2、如果对于函数的定义域内的任意,都有成立,那么就称函数是定义域上的“平缓函数”.(II)若函数是闭区间上的“平缓函数”,且.证明:对任意的都有。17例3、(2012浙江理22)已知,函数.(Ⅰ)证明:当时,(ⅰ)函数的最大值为;(ⅱ)。例4、(2012陕西理22)设函数(II)设,若对任意,有,求的取值

3、范围;变题:(连云港市2012-2013)已知函数,其中ÎR.(1)求函数y=f(x)的单调区间;(2)若对任意的x1,x2Î[-1,1],都有,求实数的取值范围;(3)求函数的零点个数.17三、考题精选:1.求的最小值为___________2.若存在实数使成立,则实数的取值范围是___________.3.若不等式的解集为,则实数__________.4.在实数范围内,不等式的解集为___________。5.不等式的解集为__________________.6.在区间上满足不等式的解有且只有一个,则实数的取值范围为7.已知为

4、常数,函数在区间[0,3]上的最大值为2,则___。8.若函数,则对于不同的实数,则函数的单调区间个数不可能是()A.1个B.2个C.3个D.5个9.设函数满足,,且当,.又函数,则函数在上的零点个数为(  )A.5B.6C.7D.810.函数在区间内的图象是()11.的图象与的图象(且)交于两点(2,5),(8,3),则的值是()A.7B.8C.10D.1312.设函数的图象关于直线对称,则的值为()(A)3(B)2(C)1(D)-113.设,是二次函数,若的值域是,则的值域是()A.B.C.D.14.已知函数在上恰有两个零点,则

5、实数的取值范围为()A.B.C.D.(2,4)15.若函数,则函数的零点个数为()A.4个B.5个C.6个D.7个16.设函数满足对任意的,且。已知当时,有,则的值为。17.设,,求证:1718.设为实数,函数,(1)讨论的奇偶性;(2)求的最小值19.已知函数,若,求证:当时,有20.已知:,。(1)、、中至少有一个不小于(2)若的最大值为M,求证:。(3)若时,求的表达式。21.已知函数(I)求f(x)的单调区间;(II)对任意的,恒有,求正实数的取值范围.22.已知函数.(1)若a=1,求函数在区间的最大值;(2)求函数的单调

6、区间;(3)若恒成立,求的取值范围.23.设函数(,)。⑴若,求在上的最大值和最小值;⑵若对任意,都有,求的取值范围;⑶若在上的最大值为,求的值。24.已知函数(1)求函数在点处的切线方程;(2)求函数单调区间;(3)若存在,使得是自然对数的底数),求实数的取值范围.1、解:由函数,且对任意的,,17有:,,即。由,得同理:故当时,有。此时,,,所以有。,当时,故有。例2、(1)解:对于任意,有,∴,∴.∴.∴函数是“平缓函数”.(2)证明:当时,由已知得。当

7、时,,不妨设,其中,那么∵,∴∴综上,对任意的都有成立。例3、【解析】本

8、题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力.(Ⅰ)(ⅰ).17当b≤0时,>0在0≤x≤1上恒成立,此时的最大值为:=

9、2a-b

10、﹢a;当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,此时的最大值为:=

11、2a-b

12、﹢a;综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为

13、2a-b

14、﹢a;(ⅱ)要证+

15、2a-b

16、﹢a≥0,即证=﹣≤

17、2a-b

18、﹢a.亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)

19、2a-b

20、﹢a,∵,∴令.当b≤0时,<0在0≤x≤1上恒成立,此时的最大值为:=

21、2a-b

22、﹢a;当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判

23、断,≤

24、2a-b

25、﹢a;综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)

26、2a-b

27、﹢a.即+

28、2a-b

29、﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立.(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为

30、2a-b

31、﹢a,且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣

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