2015步步高理科数学第二讲 参数方程

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1、第二讲　参数方程1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__________的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________．2．几种常见曲线的参数方程(1)直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t为参数)．(2)圆：以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数

2、．当圆心在(0,0)时，方程(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是____________，其中φ是参数．椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是____________，其中φ是参数．(4)抛物线：抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程是(t为参数)．1．(课本习题改编)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．2．椭圆(θ为参数)的离心率为________．3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则

3、PF

4、＝________.4．(课本习题改编)直线(t为参数)的倾斜角为_____

5、___．5．已知曲线C的参数方程是(t为参数)．则点M1(0,1)，M2(5,4)在曲线C上的是________.题型一　参数方程与普通方程的互化例1　已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．思维升华　(1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin2θ＋cos2θ＝1,1＋tan2θ＝等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．　(2013·广东)已知曲线C的参数方程为(t

6、为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．题型二　参数方程的应用例2　在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(2,2)，倾斜角α＝.(1)写出圆的标准方程和直线l的参数方程；(2)设l与圆C相交于A、B两点，求

7、PA

8、·

9、PB

10、的值．　思维升华　根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝

11、t1－t2

12、；(2)定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；(3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参

13、数值tM＝(由此可求

14、M2M

15、及中点坐标)．　已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．　题型三　极坐标、参数方程的综合应用例3　在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，直线l的参数方程是(t为参数)，M，N分别为曲线C、直线l上的动点，则

16、MN

17、的最小值为________．思维升华　涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了

18、化归思想的具体运用．　(2013·湖北)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋)＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－)．(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l与曲线C交

19、于A，B两点，求

20、AB

21、.易错分析　不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误．规范解答解　(1)直线的参数方程可以化为[2分]根据直线参数方程的意义，直线l经过点(0，)，倾斜角为60°.[4分](2)直线l的直角坐标方程为y＝x＋，[6分]ρ＝2cos(θ－)的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝1，[8分]所以圆心(，)到直线l的距离d＝.所以

22、AB

23、＝.[10分]温馨提醒　对于直线的参数方程(t为参数)来说，要注