数学-2014届高三决战四统（1）数学试题

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1、绝密★启用前数学决战四统测(一)注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合，则▲．结束开始P←0n←1P←P＋

2、n←n＋1输出nYN（第6题）P＜0.702．已知，那么复数▲.3．从这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为▲．4．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于▲．5．为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重.根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是▲．（第5题）ABCPDEF第8题图6.如图所示的流程图，最后输出的n的值是▲．7.已知向量a，b，满足

3、a

4、＝1，

5、b

6、＝，a＋b＝(，1)，则向量a＋b与向量a－b的

7、夹角是▲．8.如图，正三棱锥P－ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足PD＝PF＝1，PE＝2，则三棱锥P–DEF10的体积是▲．9.在中，，点是内心，且，则▲．第11题图10.已知锐角A，B满足tan(A＋B)＝2tanA，则tanB的最大值是▲．11.如图，点分别是椭圆的上顶点和右焦点，直线与椭圆交于另一点，过中心作直线的平行线交椭圆于两点，若则椭圆的离心率为▲.12.已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是▲.13.已知函数，若存在实数，满足，其中，则取值范围是▲．14.设实数a，x，y

8、，满足则xy的取值范围是▲．二、解答题：15.（本小题满分14分）设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知C＝，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC＝2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA＝α，求PM＋PN的最大值及此时α的取值．（第15题）16.（本小题满分14分）在正三棱柱中，点是的中点，．10（1）求证：∥平面；（2）试在棱上找一点，使．17.（本小题满分14分）如图，2014年春节，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，

9、测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，已知的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆绕中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若P

10、A2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值．19.(本题满分16分)设函数.（1）若=1时，函数取最小值，求实数的值；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；10（3）若，证明对任意正整数，不等式都成立.20．已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．(1)若数列{an}是等差数列，求a的值；(2)确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．数学参考答案一、填空题1．2．3．4．5．406．47．π8．9．10．11.12．13．（21,24）14．[－，

11、＋]二、解答题15.（本小题满分14分）解（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，（第15题）即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，所以有A＝B或A＋B＝．…………………2分又因为C＝，得A＋B＝，与A＋B＝矛盾，所以A＝B，因此A＝．…………………4分（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝PC·sin(π－∠PCB)10＝2sin[π－(α＋)]＝2sin(α＋)，α∈(0，).………………6分所以，PM＋P

12、N＝2sinα＋2sin(α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋).………………10分因