平面向量及其加减运算(提高)知识讲解

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1、平面向量及其加减运算（提高）知识讲解【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义.2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义.3.理解两个向量共线的含义.【要点梳理】要点一、平面向量1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段.有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.要点诠释：（1）“有向线段AB”符号标记为，且表示点B相对于点A的位置差别.（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面.

2、2.平面向量的定义及表示（1）向量:既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.要点诠释：①向量的两要素：向量的大小、向量的方向.②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.③向量与有向线段的区别：（a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；（b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.（2）向量的表示方法:①小写英文字母表示法:

3、如等.②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等.（3）向量的分类：固定向量：有大小、方向、作用点的向量；自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.要点诠释：我们学习的主要是自由向量.3.特殊的向量零向量:长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量.互为相反向量:长度相等且方向相反的向量.平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量).规定:与任一向量共线.要点诠释：（1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写的不同.（2）平行向量可以在同一直线上，

4、要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.要点二、平面向量的加法运算1.定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.2.运算法则：（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图：ＡＢＣ（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向

5、量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.ＡＢＣＤ（3）平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是和的向量.如图：　　　　　　　　　　　　　　　要点诠释：1.两个向量的和是一个向量，规定.2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.3.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后

6、一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.4..探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.3.运算律：（1）交换律：；（2）结合律：要点三、向量的减法运算1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.2.运算法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则.要点诠释：（1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：，从而用加法法则来解

7、决减法问题.（2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定.（3）与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，即.【典型例题】类型一、向量的基本概念1.判断下列各命题是否正确：(1)若，则；(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；(3)若，则(4)两向量相等的充要条件是且.【思路点拨】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要注意这两方面的结合.【答案与解析】解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出.(2)正确，且.又A、B、C、D是不

8、共线的四点，四边形是平行四边形，则且与方向相同.因此.(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同.故.(4)不正确，当但方向相反时，即使，也不能得到，故不是的充要条件.【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向