数学建模论文--竞渡策略的数学优化模型

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1、竞渡策略的数学优化模型[摘要]:本文针对水流速度恒定的情况下，如何选择游泳方向使到达目的地的时间最少的问题，建立起游泳者以恒定速率，水流速相等和不等时，选择最佳路线的数学优化模型。　利用物理运动学的知识，采取以游泳者的静水速度与水流速度的矢量和视为游泳者在“静水”中行进的方法，得出2002年“武汉国际抢渡长江挑战赛”冠军是始终以1.54m/s的速度沿着与水流方向成行进的，并得出一个游速为1.5m/s游泳者应沿的方向行进得最佳成绩为910.46秒。同时结合模型一，讨论了游泳者始终以岸边垂直方向并要求到达终点

2、的条件，分别求得1934年与2002年两次竞赛游泳者需要达到的临界速度为0.45m/s和2.19m/s，由此解释了两次竞赛到达终点人数百分比的差别。对于水流速是离散分布的情况，建立时间优化模型,用拉格朗日乘数法求得游泳者用T=904.02秒，沿三个水流速度分界处方向与水流正向分别成，，游完全程。在水流速度是连续分布的情况下，运用微元思想，用极端法求出的范围，应用MATLAB软件编程搜索，当n=7时得到T=882.06秒。关键词：竞渡;拉格朗日乘数法;离散化1 问题的提出“竞渡”是一项能增强人们体质，锻炼人

3、们意志的体育竞赛活动.由于水情和水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性，所以得到越来越多人的关注和参与.作为一项竞赛活动，“竞渡”有其自身特点，除游泳选手自身素质外，水流和路线都直接影响竞赛成绩.因此，选手合理安排自己的行进路线是取得佳绩的重要问题.针对这个问题，在水流速度为恒定分布、离散分布和连续分布等情况下，我们提出了如何为选手选择最佳游泳路线的问题.2问题的分析这是一个竞渡问题，是一个选择最佳行进路径问题.由于气候、水温、风力等客观因素可直接影响游泳者的成绩，为使问题简单化，我们可忽略这些客

4、观因素影响，因此，这其实又是一个求时间最短的优化问题.对于这个问题,我们只要求出游泳者与水流方向合适的夹角,问题就基本解决.利用物理运动学的知识，把游泳运动分成垂直于起点岸指向对岸和沿着水流两个方向分析.垂直方向游泳者游过的路程应与江面宽度相等，水流方向的路程应与起点和终点沿水流方向的距离相等.我们就这两个条件，追求游泳时间最少的目标，对不同的水流速度分布，由简单到复杂，层层深入，最终建立趋于实际条件的优化模型.3模型的假设１．游泳者保持恒定速度游完全程，且没有人中途退出.２．水流速度恒定，视江岸为两平行

5、直线.３．忽略涡流、气候、水温、风力等客观因素对渡江的影响.４．假设江面有向导船、标识，可以随时间调整游泳者的方向，并忽略改方向的时间.4符号约定游泳者的游泳速度　长江水流速度　游泳者的速度与长江水流速度的矢量和　游泳者的速度与长江水流速度所成的角.游泳者在第i区域所用的时间.T游泳者从起点到终点所需的总时间游泳者在I区域沿流水方向游过的路程,若是负的则表示沿逆水流向表示第i个区域的宽度5模型的建立与求解1075.１水流速恒定的模型Y起点O图1.1xAB以起点为原点，垂直于起点岸指向正对岸为y轴正向，水流

6、方向为x轴正向建立坐标系，水流方向与游泳方向所成的角为，为江面宽度,为起点正对岸到终点的距离,如图1.1，则有故有　即……(1)……(2)……(3)联立（１）（２）（３）式,并把,,,代入可解得若,由于游泳者在水平和垂直方向前进中所用时间相等.即可解得所用时间根据速度选择方向的一般模型,类似上述模型，设水流方向与合速度方向夹角为，水流反方向与游泳方向所成角如图1.2，则根据正弦定理和余弦定理可建立一般模型.  107起点oyx图1.2A终点B  5.2基于游泳者垂直于正对岸游的讨论由图2.1知故其临界速度

7、： 同理可求得图2.2的临界速度为 4863.6图2.2OAB1000图2.1OAB 在2002年要想游到终点，游泳者在静水中的速度最少要2.1924m/s，而1934年的只需0.4508m/s.对游泳者来说，0.4508m/s的速度容易实现，2.1924m/s的速度却很难达到，几乎不能达到（至2004年止，1500米自由泳世界纪录的平均速度才1.714m/s）.故1934年和2002年能游到终点的人数的百分比差别如此之大.107终点B第三区域第二区域第一区域起点O图3.1第二区域第一区域起点O图3.25

8、.3水流速为离散分布的模型把江面宽度分为三个区域，为第一区域，为第二区域，为第三区域，各个区域对应的水流速分别为1.47m/s、2.11m/s和1.47m/s如图3.1所示.由于第一区域与第二区域水流速分布的类似性，可将第一、三区域合并为一个区域，称为第一区域.如图3.2所示. 设第一区域内游泳方向与水流方向夹角为，第二区域内的夹角为，则可得出优化模型二 min s.t.令则模型可简化为min s.t.（*）根据拉格朗日乘数法