江河竞渡的优化模型

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第20卷第7期工程数学学报Vo1．2ONO．7。。年月JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSDec．2003文章编号：1005—3085(2003)07—0101—07江河竞渡的优化模型尹立伟，李志波，刘中亮指导教师：崔国生(沈阳工程学院，沈阳110036)编者按：本文摘要简洁明了地概述了作者的建模方法和结果。作者在速度分解的基础上，在流速为分段常数的情形下，假设游泳者的游泳角度分段不变，建立了数学模型，并用来求解或近似求解竞赛试题要求解答的各个问题，得到了正确的结果。本文叙述清晰易懂，缺点之

2、一是没有在各种情形下说明游泳者的速度至少多大才能游到终点的表达式。摘要：首先建立了江水流速恒定不变的模型1．得出了2002年冠军选手的行进路线为连接起点与终点的直线，其速度大小约为1．54米／秒，方向为垂直对岸左偏27．5；近似求出了速度为1．5米的选手的前进方向应左偏31．9，他的最好成绩约为15分10秒；根据此模型，得出了1934年和2002年成功完成赛事的最低速度及可以选择的前进角度，较好地解释了两次比赛成功者比例相差悬殊．V的原因，进而得出了能够垂直游向对岸的条件为≥。n在模型I的基础上，建立了江水速度分段变化的模型Ⅱ，回答了题目的问题3——选手的前进方向

3、为靠近两岸200米之内时，左偏36．r，在江心区域左偏28．1。；它的最好成绩大约为15分4秒。进一步，我们又完成了江水流速按区域连续变化的模型Ⅲ和模型Ⅳ，并用离散的方法求解了该模型。根据运算结果．为选手提供了在垂直距离上每前行100米所应调整的角度，求得最优路径为一“反S”型：得出了“两侧偏角大，中间偏角小”的行进方向基本原理。关键词：抢渡长江；数学模型；最优化；速度分类号：AMS(2000)49N99中图分类号：0224文献标识码：Al问题重述(略)2主要变量及其符号：游泳者的平均游泳速度(速率)；“：水流速度(速率)；X：起点在对岸的投影点到终点的距离；y：

4、两岸间的垂直距离；y：河流垂直岸边方向第i段的宽度；维普资讯http://www.cqvip.comlO2工程数学学报第2O卷“：水流在第段的速度(速率)；0：游至垂直岸边方向第i段时，与垂直岸边方向左偏角度；t：游泳者游经第i段所需时间；t：游泳者从起点到终点所需的总时间；：将江面宽度平均分成n份，每份的长度。3模型建立与求解3．1模型I(水流恒速模型)模型假设1)在游泳过程中，游泳者的速度可以保持恒定不变；2)竞渡区域内各点水流速度相同；3)江面宽度保持不变，即两岸是保持平行的；4)游泳过程中游泳者之间互不影响。模型建立与求解若游泳者的游泳速度为，则垂直于对岸

5、的分速度1="UCOSO，平行于两岸方向的分速度，=一vsinO。于是游泳者沿平行于水流方向的合速度V=“一vsinO。因为江面宽度为y，假设游泳者游进方向不变，则游泳者游到对岸所需时间为tl：——(1)"UCOSO游泳者平行于两岸前进的距离为L=t1(“一vsinO)(2)此时游泳者与终点的距离为L=X—L。若L<0，则游泳者将无法到达终点而被冲到下游；若L≥0，则游泳者可以到达终点。问题1求解将X=1000，Y=1160，“=1．89代人式(1)、式(2)。因为游泳者的速度和江水速度均保持不变，故2002年第一名的理想路径应该是沿着起点与终点的连线(直线)前进

6、的。因为沿江方向与垂直方向游泳时间相同，故J『：848仉osl而=848用Mathemtica4软件解得=1．54，0=27．5。，即获得第一名的选手是以1．54米／秒的速度，以0=27．5。的角度进行游泳的。在江水流速恒定为“的情况下，若某一选手的游泳速度可以恒定保持为，则其理想游泳角度(左偏角)一Yarctan—一aarrcccc。。s。[l丽]j㈦‘3)若游泳者的速度以1．5米保持不变，则根据模型可建立方程116010000维普资讯http://www.cqvip.com第7期江河竞渡的优化模型1O3由Mathemtica4软件解得0：31．9。，t=910

7、．5(秒)≈15分10秒，即游泳者保持以0=31．9。的角度进行游泳，便可获得(理论上的)最好成绩，时间大约为15分10秒。问题2的求解在模型I的假设下，如果游泳者始终沿垂直岸边的方向行进，则能够达到终点速度所应满足的条件为一0“V即吉“(4)^将Y=1600，X=1000，“=1．89代人式(4)，得2．1924，即只有速度达到2．19米以上时，选手方能一直沿垂直岸边的方向成功游到对岸。而绝大多数选手的速度达不到或不能保持2．19米的水平，因而一直垂直游向对岸不能成功到达终点。2002年和1934年抢渡比赛成功率的显著差别，可以用模型I较好地解释：(1)从速度要

8、求来比较针