2020届高考数学（理）大一轮复习：专题突破练%286%29　圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题

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1、专题突破练(6)　圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1.设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则

2、AB

3、的最小值为(　　)A.B．pC．2pD．无法确定答案　C解析　当弦AB垂直于对称轴时

4、AB

5、最短，这时x＝，∴y＝±p，

6、AB

7、min＝2p.2.已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则

8、PF

9、＋

10、PA

11、的最小值为(　　)A.4B．6C．8D．9答案　D解析　注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F′(4,0)，于是由双曲线定义得

12、PF

13、－

14、PF′

15、＝2a＝4，故

16、P

17、F

18、＋

19、PA

20、＝2a＋

21、PF′

22、＋

23、PA

24、≥4＋

25、AF′

26、＝9，当且仅当A，P，F′三点共线时等号成立.3.已知M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，

27、FM

28、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)A.(0,2)B．[0,2]C.(2，＋∞)D．[2，＋∞)答案　C解析　由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为4，且

29、FM

30、>4，根据抛物线的定义知

31、FM

32、＝y0＋2，所以y0＋2>4，得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞).4.过椭圆＋＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，

33、F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是(　　)A.14B．16C．18D．20答案　C解析　如图，设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知

34、FQ

35、＝

36、PF2

37、，

38、OP

39、＝

40、OQ

41、，所以△PQF的周长为

42、PF

43、＋

44、FQ

45、＋

46、PQ

47、＝

48、PF

49、＋

50、PF2

51、＋2

52、PO

53、＝2a＋2

54、PO

55、＝10＋2

56、PO

57、，易知2

58、OP

59、的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF的周长取得最小值10＋2×4＝18.故选C.5.设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，即P，Q两点间的最大距离是(　　)

60、A.5B.＋C.6D．7＋答案　C解析　解法一：设Q(x，y)，－1≤y≤1.因为圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为M(0,6)，半径r＝，则

61、QM

62、＝＝＝≤5，当y＝－时取等号，所以

63、PQ

64、max＝5＋＝6.故选C.解法二：设Q(cosθ，sinθ)，由已知得M(0,6)，则

65、MQ

66、＝＝＝＝≤5当sinθ＝－时取等号，故

67、PQ

68、max＝5＋＝6.6.已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　B解析　解法一：设P(

69、x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，易知A1(－2,0)，A2(2,0)，则有k1k2＝·＝＝＝－，因为－2≤k2≤－1，所以k1>0且－2≤－≤－1，即1≤≤2，解得≤k1≤.故选B.解法二：设直线PA2的斜率为k2，令k2＝－1，则直线PA2的方程为y＝－(x－2)，代入椭圆方程并整理得7x2－16x＋4＝0，解得x1＝2，x2＝，从而可得点P的坐标为，于是直线PA1的斜率k1＝＝.同理，令k2＝－2，可得k1＝.结合选项知，选项B正确.二、填空题7.[2017·湖北黄冈中学二模]设椭圆＋y2＝1上任意一点A到两条

70、直线x±2y＝0的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为________.答案　解析　设点A的坐标为(2cosα，sinα)，则d1d2＝·＝≤，所以d1d2的最大值为.8.以抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作与直线x＋2＝0相切的圆，这些圆必过一定点，则定点的坐标是________.答案　(2,0)解析　抛物线的焦点为F(2,0)，准线l的方程为x＝－2，即x＋2＝0，又抛物线上任意一点到F与到准线l的距离相等，所以这些圆一定过焦点F(2,0).9.过点(0,3b)的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条斜率为正的渐

71、近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是________.答案　3解析　由题意得双曲线的斜率为正的渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，则直线l的方程为y＝x＋3b，即bx－ay＋3ab＝0.因为双曲线的右支上的点到直线l的距离恒大于b，所以渐近线y＝x与直线l的距离不小于b，即≥b，结合c2＝a2＋b2化简得9a2≥c2，所以1

72、经过点N且垂直于x轴.(1)求线段ON的长；(2)设不经过点M和N的动直线l2：x＝my＋b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA，ME，MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由.解　(1)由抛物线C